一、(每小题8分,满分16分)求极限
1.$displaystyle
limlimits_{n o infty}frac{1^{p}+2^{p}+cdotcdotcdot+(2n-1)^{p}}{n^{p+1}}$(其中$p$是自然数)
2.$displaystyle limlimits_{n o infty}left(frac{
2^{frac{1}{n}}}{n+1}
+frac{ 2^{frac{2}{n}}}{n+ frac{1}{2}}+cdotcdotcdot+
frac{ 2^{frac{n}{n}}}{n+ frac{1}{n}}
ight)$
二、(第一小题5分,第二小题10分,共15分)
1.叙述实数$R$上的区间套定理和确界原理；
2.用区间套定理证明确界原理.
三、(第一小题10分,第二小题5分,共15分)设$f(x)$在$[a,b]$上有连续的二阶导数且
$f(a)=f(b)=0$.证明:
1.对任意$xin [a,b]$,$displaystyle left | frac{f(x)}{(x-a)(x-b)} ight| lefrac{1}{b-a}int _{a}^{b}left| f''(x) ight| dx$.
2.$displaystyle frac{4}{b-a}maxlimits_{xin [a,b]}left| f(x) ight| leint_{a}^{b}left| f''(x) ight| dx $
四、(每小题7分,共14分) 利用公式$displaystyle frac {1}{1+x^{2}}=int_{0}^{+infty} e^{-y(1+x^{2})}dy$计算
1.$ displaystyle int_{0}^{+infty} frac{cos alpha x}{1+x^{2}}dx $.
2.求$displaystyle int_{0}^{+infty}frac{xsin alpha x}{1+x^{2}}dx$
五、(10分) 证明:若$f(x)$在$R$上非恒为零,存在任意阶导数,且对任意的$xin R$有$displaystyle left| f^{(n)}(x) - f^{(n-1)}(x) ight|<frac{1}{n^{2}} $,则$displaystyle limlimits_{n o infty} f^{(n)}(x)=Ce^{x}$,其中$C$是常数.
六、 (10分) 若$nge 1$及$xge 0,yge 0$,证明不等式:$$ frac{ x^{n}+y^{n}}{2}ge left( frac{x+y}{2} ight)^{n}$$
七、 (10分) 求级数$ displaystyle sum_{n=1}^{infty}frac{x^{n}}{n(n+1)}$.
八、(10分) 计算曲面积分$displaystyle iintlimits_{S}xzdydz+(x^{2}-z)ydzdx-x^{2}zdxdy$,其中$S$是旋转抛物面$x^{2}+y^{2}=a^{2}z(a>0)$取$0le zle 1$部分,下侧为正.