一、(每小题10分,满分20分)求下列极限.
1.$displaystyle limlimits_{x o 0}frac{ displaystyle int_{0}^{x}(1-cos t)dt }{ displaystyle frac{1}{3}x^{3}} $
2.$displaystyle limlimits_{n o infty }sin frac{pi}{n}
sum_{k=1}^{n}frac{cos frac{kpi} {n}}{ 2+sin frac{kpi} {n}}$
二、(本题满分10分) 设函数$u=u(x,y)$由方程$ u=y+xvarphi (u)$确定,求证:$$displaystyle frac{ partial ^{2}u}{partial x^{2}}=frac{ partial }{partial y}left[ varphi ^{2}(u) frac{partial u}{partial y} ight] $$
三、(本题满分20分) 设$f(x)$在$[0,1]$上连续.证明:
$$ limlimits_{t o 0^{+}} int_{0}^{1} frac{tf(x)}{t^{2}+x^{2}}dx=frac{pi}{2}f(0)$$
四、(本题满分20分) 证明函数项级数$displaystyle sum_{k=1}^{infty}frac{sin x sin nx}{sqrt{n+x}} $在$(0,+infty)$上一致收敛.
五、(本题满分10分) 计算$displaystyle oint_{l} frac{x}{x^{2}+y^{2}}dy-frac{y}{x^{2}+y^{2}}dx $,其中$l$是由$y=x^{2}-1$与$y=x+1$所围成区域的边界,沿逆时针方
向.
六、(本题满分20分) 计算$displaystyle iintlimits_{S}4zxdydz-2yzdxdx+(z-z^{2})dxdy$,其中$S$是$yoz$平面上的曲线$z=e^{y}(0le yle 2)$绕$oz$轴旋转一周所成的曲面的下侧.