欧拉函数

欧拉函数

     欧拉函数是指不超过n并与n互质的正整数的个数（N为正整数）

    性质：

    对n进行质因数分解之后，所有素数幂上的欧拉函数之积，

    即：对于n=p₁^a1p₂^a2p₃^a3p₄^a4......p_m^am的欧拉函数为φ（n）=φ(p₁^a1)*φ(p₂^a2)*φ(p₃^a3)*φ(p₄^a4)*......*φ(p_m^am)

    以下为欧拉函数的定理：

    定理1：

    对于一个素数p，则它的欧拉函数φ(p)=p-1。（p为正整数）

    证明：因为p是素数，所以在[1,p-1]这个区间内所有的数都与p互质

    故p的欧拉函数φ(p)=p-1。

    定理2：

    如果一个素数p（且p是正整数）那么p^a的欧拉函数为φ(p^a)=p^a-p^a-1(其中a为正整数）

    证明：对于p^a来说它的欧拉函数的查找范围为[1,p^a-1]，在这个范围内与p^a不互质的数有：p*1,p*2,p*3......p*(p^a-1-1)，总计p^a-1-1个

    故p^a的欧拉函数φ(p^a)=p^a-1-(p^a-1-1)=p^a-p^a-1

    定理3：

     如果gcd(m,n)=1，那么则有φ(mn)=φ(m)*φ(n)。（m，n为正整数）

     证明：因为欧拉函数为积性函数故成立

    定理4：

    有一正整数n它的质因数分解幂为n=p₁^a1p₂^a2p₃^a3p₄^a4......p_m^am，那么则有φ(n)=n(1-1/p₁)(1-1/p₂)(1-1/p₃).........(1-1/p_m)

    证明：将n质因数分解后我们可以得到它的欧拉函数为φ（n）=φ(p₁^a1)*φ(p₂^a2)*φ(p₃^a3)*φ(p₄^a4)*......*φ(p_m^am)，

    对于其中的φ(p_xax)来说可以将它化为φ(p_x^ax)=p_x^ax-p_x^ax-1从中提出一个p_x^ax来则变为p_x^ax(1-1/p_x^ax)

　φ（n）=φ(p₁^a1)*φ(p₂^a2)*φ(p₃^a3)*φ(p₄^a4)*......*φ(p_m^am)将这里面的每一个都进行这样的操作则φ(n)变为φ(n)=p₁^a1p₂^a2p₃^a3p₄^a4......p_m^am(1-1/p₁)(1-1/p₂)(1-1/p₃).........(1-1/p_m)

    因为n=p₁^a1p₂^a2p₃^a3p₄^a4......p_m^am所以φ(n)=n(1-1/p₁)(1-1/p₂)(1-1/p₃).........(1-1/p_m)

   定理5：

   如果n是一个大于2的正整数，那么φ(n)为偶数

（博主蒟蒻，如果有错欢迎指出）

（博主太懒，最后一个定理就不证明了）