【笔记】二分图模板

二分图的验证
　　bfs染色法

二分图最大匹配

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1005;
bool road[N][N], used[N];
int match[N], n, m, e;
/*
关于定义
road[i][j] == 1表示左边集合中的i到右边集合中的j有边
used[i] == 1是在每次做增广的时候记录已访问右集合的节点i
match[i]记录右集合节点j的匹配对象
n, m, e如题 （左集合大小，右集合大小， 边数）
*/
bool dfs(int x)
{
     for(int i = 1; i <= m; ++i)
         if(!used[i] && road[x][i])//判断这条边是否可以走
         {                     
             used[i] = 1;//记录这个节点已经被访问 防止成环      
             if(!match[i] || dfs(match[i]))
             {//如果这个点可以被让出来            
                 match[i] = x; 
                 return true;//记录新的匹配点 返回true                 
             }
         }    
     return false;//匹配失败                                                  
}
int main(){
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &e);
    for(int i = 1, x, y; i <= e; ++i)
    {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        road[x][y] = 1;
    }
    int ans = 0;//答案                                               
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= m; ++j) used[j] = 0;//每次查询前都要清空used
        if(dfs(i)) ++ans;                       //如果这个点可以找到匹配点的话 答案加一
    } 
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

（左/右集合的）最大匹配 

完美匹配

最小顶点覆盖：

　　用最少的顶点，覆盖全部的边

　　等于最大匹配数

最大点独立集：

　　一个点的集合，里面每两个点都没有边相连

　　等于点的个数，减去最大匹配

　　（把匹配拆了，剩下点数多的那一边，再加上不匹配，就是跟另一边不连通的点就行）

最小边覆盖：

　　用最少的边，覆盖所有点

　　等于最大点独立集

　　（独立的点不能互相连，就和外面连起来）

------------------------------------------

刷题的时候看到的

即得易见平凡，仿照上例显然。

留作习题答案略，读者自证不难。

反之亦然同理，结论自然成立。

略去过程QED，由上可知证毕。