Dijkstra算法求单源最短路径（一）

      本文实现的Dijkstra算法是最简单的方法，就是暴力搜索，其时间复杂度为O(V^2)，后面会使用优先队列的方法，修改广度优先遍历来实现Dijkstra算法，这样的算法时间复杂度上会有所改善。

代码实例：

/* 参考文献：http://baike.baidu.com/view/7839.htm 算法流程: 在以下说明中，s为源，w[u,v]为点u和v之间的边的长度，结果保存在dist[] 1.初始化：源的距离dist[s]设为0，其他的点距离设为无穷大，同时把所有的点的状态设为没有扩展过。 2.循环n-1次： 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。 对于每个与u相邻的点v，执行Relax(u,v)，也就是说，如果dist[u]+w[u,v]<dist[v]， 那么把dist[v]更新成更短的距离dist[u]+w[u,v]。此时到点v的最短路径上，前一个节点即为u。 3.结束。此时对于任意的u，dist[u]就是s到u的距离。 直接实现:（本实例所采用的方法） 最简单的实现方法就是，在每次循环中，再用一个循环找距离最短的点，然后用任意的方法更新与其相邻的边，时间复杂度显然为O(n2) */ #include<fstream> #include<cstring> #include<iostream> #include<stdlib.h> using namespace std; const int MaxNum=1000000; //边权最大值 int n; //节点数目 int dist[501]; //到节点1的最短路径值 bool state[501]; //节点被搜索过状态指示 int data[501][501]; //邻接矩阵 //查找权值最小的节点 int findmin() { int minnode=0, min=MaxNum,i; for(i=1;i<=n;i++) if((dist[i]<min)&&(!state[i])) { min=dist[i]; minnode=i; } return minnode;//如果minnode=0则表示没有找到最小节点 } void Dijkstra() { cout<<"输入定点数："<<endl; cin>>n;//输入顶点数量 //构造邻接矩阵，顶点到自身的距离是无穷大的。 cout<<"输入邻接矩阵权值："<<endl; for(int p=1; p<=n; p++) for(int q=1; q<=n; q++) { //in >> data[p][q]; cin>>data[p][q]; if (data[p][q]==0) data[p][q]=MaxNum; } //初始化 for(int i=1; i<=n; i++) { state[i]=0;//初始化，表示所有点都没有被扩展过 dist[i]=data[1][i];//data[1][i]表示1为源点 } state[1]=true; int done=1; while (done<n)//循环n-1次 { int node=findmin(); if (node!=0) { done++; //找到的点的数目加1 state[node]=true; //标记已经找到了从节点1到节点node的最短路径 for(int i=1; i<=n; i++)//更新还没有找到的点的路径值 if ((dist[i]>dist[node]+data[node][i]) && (!state[i])) dist[i]=dist[node]+data[node][i]; } else break; } } int main() { Dijkstra(); for(int k=1; k<=n; k++) { if (dist[k]==MaxNum) cout<<-1; else cout<<dist[k]; if(k==n) cout<<endl;//最后输出换行 else cout<<" ";//没到最后则以空字符间隔 } system("pause"); return 0; } /* 输入定点数： 5 输入邻接矩阵权值： 0 4 2 0 0 0 0 3 2 3 0 1 0 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 */

PS:2011-6-15

修改部分：

输出了过程中dist[i]的变化

#include<fstream> #include<cstring> #include<iostream> #include<stdlib.h> using namespace std; const int MaxNum=1000000; //边权最大值 int n; //节点数目 int dist[501]; //到节点1的最短路径值 bool state[501]; //节点被搜索过状态指示 int data[501][501]; //邻接矩阵 //查找权值最小的节点 int findmin() { int minnode=0, min=MaxNum,i; for(i=1;i<=n;i++) if((dist[i]<min)&&(!state[i])) { min=dist[i]; minnode=i; } return minnode;//如果minnode=0则表示没有找到最小节点 } void Dijkstra() { cout<<"输入定点数："<<endl; cin>>n;//输入顶点数量 //构造邻接矩阵，顶点到自身的距离是无穷大的。 cout<<"输入邻接矩阵权值："<<endl; for(int p=1; p<=n; p++) for(int q=1; q<=n; q++) { //in >> data[p][q]; cin>>data[p][q]; if (data[p][q]==0) data[p][q]=MaxNum; } //初始化 for(int i=1; i<=n; i++) { state[i]=0;//初始化，表示所有点都没有被扩展过 dist[i]=data[1][i];//data[1][i]表示1为源点 } cout<<"输出过程中的dist[i]"<<endl; for(int i=1; i<=n; i++) { cout<<dist[i]<<" "; } cout<<endl; state[1]=true; int done=1; while (done<n)//循环n-1次 { int node=findmin(); if (node!=0) { done++; //找到的点的数目加1 state[node]=true; //标记已经找到了从节点1到节点node的最短路径 for(int i=1; i<=n; i++)//更新还没有找到的点的路径值 if ((dist[i]>dist[node]+data[node][i]) && (!state[i])) dist[i]=dist[node]+data[node][i]; for(int j=1;j<=n;j++) cout<<dist[j]<<" "; cout<<endl; } else break; } } int main() { Dijkstra(); cout<<"输出最终dist[i]的值，-1表示源点"<<endl; for(int k=1; k<=n; k++) { if (dist[k]==MaxNum) cout<<-1; else cout<<dist[k]; if(k==n) cout<<endl;//最后输出换行 else cout<<" ";//没到最后则以空字符间隔 } system("pause"); return 0; } /* 输入定点数： 5 输入邻接矩阵权值： 0 4 2 0 0 0 0 3 2 3 0 1 0 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 输出过程中的dist[i] 1000000 4 2 1000000 1000000 1000000 3 2 6 7 1000000 3 2 5 6 1000000 3 2 5 6 1000000 3 2 5 6 输出最终dist[i]的值，-1表示源点 -1 3 2 5 6 请按任意键继续. . . */ 

Dijkstra算法求单源最短路径，其实相当于是从一个源点S出发，找出从S出发可达的所有其他点的最短路径。

因此分以下几步完成：

1.dist[i]用于标记从s到i的最短路径，初始化是只有dist[s]=0,其他dist[i]=maxWeitht，表示权值无穷大

2.因为源点已经找到，还需要遍历剩余的V-1个点来找寻最短路径。

3.从dist[i]中找寻i点没有被访问且dist最小的值作为下一个顶点minnode。

4.如果dist[minnode]的值加上其可达顶点j的边上的值小于dist[j]的值，则更新dist[j]，表明j的前序节点是minnode。