QuantLib 金融计算——比较几种生成 Sobol 序列的方向数
概述
Sobol 序列因方向数的选取而不同，下面比较一下 QuantLib 中 10 种方向数配置所产生的 Sobol 序列。
QuantLib 提供 10 种方向数配置，分别是：
Jaeckel：理论支持的最大维度为 32，来源于文献 Monte Carlo Methods in Finance（by Peter Jäckel）；SobolLevitan：理论支持的最大维度为 40，来源于文献 Algorithm 659: Implementing Sobol's quasirandom sequence generator；SobolLevitanLemieux：理论支持的最大维度为 360，来源于文献 RandQMC user's guide - A package for randomized quasi-Monte Carlo methods in C；JoeKuoD5：理论支持的最大维度为 2000，来源于文献 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections；JoeKuoD6：理论支持的最大维度为 21201，来源于文献 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections；JoeKuoD7：理论支持的最大维度为 1900，来源于文献 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections；Kuo：理论支持的最大维度为 4926，来源于文献 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections；Kuo2：理论支持的最大维度为 3947，来源于文献 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections；Kuo3：理论支持的最大维度为 4587，来源于文献 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections；Unit：来源于文献 Monte Carlo Methods in Finance（by Peter Jäckel）。
如果序列的维度超过了理论支持的最大维度，剩余维度上的方向数由伪随机数（Mersenne twister）填充。
更多关于 JoeKuoD5、JoeKuoD6、JoeKuoD7、Kuo、Kuo2 和 Kuo3 的细节请查看：http://web.maths.unsw.edu.au/~fkuo/sobol/
数值实验
实验案例：算术平均亚式看涨期权。
随机过程和期权参数配置：
- \(s\)：100.0
- \(q\)：0.0
- \(r\)：0.09
- \(v\)：0.2
- 执行价：95.0
- 时间长度：365 天、30 天
实验路径数：1000、2000、3000、4000、5000、10000、20000、50000、100000
长期期权实验结果
- 不使用布朗桥
Jaeckel、SobolLevitan 和 SobolLevitanLemieux 三个低维度算法的表现明显好于其他。
Unit 的表现非常糟糕，尽管表现出收敛的态势，但 100000 路径模拟结果是 18.16，而准确值则是 9.997（文献【1】）。
注：NAG，SciPy 和 Julia 中的 Sobol 序列使用了
JoeKuoD6的方向数配置：
- https://www.nag.com/numeric/cl/nagdoc_cl24/html/G05/g05ylc.html
- https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/reference/generated/scipy.stats.qmc.Sobol.html
- https://www.juliapackages.com/p/sobol
但
JoeKuoD6的表现居然不及三个需要随机初始化的低维算法。
- 使用布朗桥
使用布朗桥之后，几种配置没有明显差别，Unit 的表现也有很大改善。
短期期权实验结果
- 不使用布朗桥
- 使用布朗桥
对于短期期权，无论是否使用布朗桥，各个方法没有明显差别。
结论
尽管其他知名软件包选择使用了 JeoKuoD6 的配置，但 QuantLib 当前的默认选项 Jaeckel 可能已然是最好的选择。（欢迎加入讨论：https://github.com/lballabio/QuantLib/issues/1219）
此外，布朗桥的使用真可谓“化腐朽为神奇”。
扩展阅读
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几种方向数配置之间其他方面的比较请查看文献【2】
参考文献
- Lo, Chien-Ling, Kenneth J. Palmer, and Min-Teh Yu. "Moment-matching approximations for Asian options." The Journal of Derivatives 21.4 (2014): 103-122.
- Sobol', Ilya M., et al. "Construction and comparison of high‐dimensional Sobol'generators." Wilmott 2011.56 (2011): 64-79.