【转载】李祥林：联接函数、信用组合与心碎综合征

目录

• 李祥林：联接函数、信用组合与心碎综合征
  • 一、教育背景
  • 二、信用市场中的金融工程
  • 三、高斯联接函数模型
  • 四、2008 年的信用危机
  • 参考文献：
• 对我的启发

李祥林：联接函数、信用组合与心碎综合征

编者语：李祥林教授是信用衍生品市场的开拓者之一。他的开创性研究成果——将联接函数（Copula）引入信用组合模型，被学术界广泛引用，并且被全面应用于信用组合，风险管理和评级的实务中。这一成果也被包括《华尔街日报》、《金融时报》、《日本经济新闻》以及《CBC 新闻》在内的媒体大幅报道。本次专访旨在深入探讨有关联接函数在投资组合违约风险模型中的起源、应用与批判。数理金融是最早采用联接函数的领域之一，但信用衍生品市场的快速发展却推动了对联接函数的研究，尤其是在高维和因子模型方面。

文章来源：德古意特（DE GRUYTER OPEN），《关联模型研究》（Dependence modeling）

学习从模仿开始，要模仿就要模仿那些最棒的人，这是我转载本文的初衷。

一、教育背景

Q1：您能向我们讲讲您的教育背景吗？

李祥林教授：我在文化大革命时期（1966-1976）的中国农村长大，仅接受过零零星星的初等教育。有些学科，比如数学、物理或许老师教的很好，因为老师恰好是一批从城市下放到农村的“知识青年”。其他课程的老师通常只有高中或专科学历，他们自己也没有接受过完整严格的教育。我大学时主修数学专业，打下了一点纯数学的基础。我高中时喜欢数学，但是大学里觉得纯数学没有足够吸引我。同时我发现一些应用学科，比如说概率论与数理统计更为有趣。大学毕业后，我到南开大学学习经济学。在那个时期，中国开始改革开放，大力发展经济。因此，国家希望能培养出一批专业的管理者和经济学家。1987 年，我离开中国去加拿大魁北拉瓦尔大学主修 MBA 学位，当时打算学成之后就返回中国。

在拉瓦尔大学，我学习了现代金融理论的基础，并且对这个学科产生了强烈的兴趣。当时那里的很多教授都毕业于欧美的顶尖学校。但是我很快发现：我的数学知识不足以让我读懂最前沿的金融研究论文。所以我决定到滑铁卢大学去学习更多的数学和统计学知识。在那里，我也学习了精算，并通过了北美精算师协会的十门考试。最后我在五个不同的学科得到了五个学位。从某种程度上说，我总是从一个专业切换到另一个专业的追赶者。

Q2：谁对您的学业产生过特别重要的影响？

李祥林教授：在滑铁卢大学我上过一些不同领域的课程，包括金融、精算和统计，以及不同级别，本科、硕士和博士的课程。滑铁卢大学有世界上最好的精算学项目之一，我上过 Harry Panjer、Gordon Wilmot、Steve Brown、Allen Brender 和 Keith Sharp 教授的精算课，也上过 Phelim Boyle 教授的金融学博士课程。我从很多优秀的统计学家 Jeff Wu、David Sprott、Don McLeish、Mary Thompson、Bovas Abraham 和 Chris Small 教授那里学到了大部分的统计知识。在我的博士论文中，我将统计估计函数概念扩展到贝叶斯统计，并且将其应用到精算学中的信用理论。我有机会能跟 Vidyadhar Godambe 教授学习，是他引进了统计中的估计函数功能。那时他已经退休，但仍每天来办公室。1994 年的整个夏天，我经常坐在他的办公室，与他探讨问题。多么伟大的一位学者！

我们那时也有很多访问学者，包括 Hans Bühlmann、Paul Embrechts、David Cox、Arnold Zellner 和其他顶级的统计学家。在我博士学位的最后一年，我离开滑铁卢，得到了曼尼托巴大学助理教授的职位，但我博士一毕业就离开学校，去了金融行业工作。因此，我从来就没有机会进行很长时间的学术研究。这也解释了为什么我在从业 23 年后决定再次回到学校教书和做研究。

我的导师 Phelim Boyle 教授和 Harry Panjer 教授对我的影响很大。Harry 有开放的心态，并且常常鼓励学生。当我和他讨论我的博士论文选题时，他非常开明，让我自己决定。和他一起工作也非常有趣，他有时会带我们坐他的私人飞机，飞过他的农场。Phelim 非常有启发性，并且对学生非常友好。他鼓励我学习更多的金融学知识，他对学术的热爱和奉献令人感动。除了应用严格的数量方法，他也很重视直觉和有效的解释性。

二、信用市场中的金融工程

Q3：您在金融行业的第一份工作是怎样的呢？

李祥林教授：1995 毕业后，我加入了加拿大皇家银行（RBC），任风险管理部门的高级分析师。我专注于股权和外汇业务的市场风险的研究，我还研究信用敞口的计算。当时，我们没有使用风险值（VaR）这一名词，而使用风险量（Dollar at Risk）。我很快意识到很多实际的工作都需要量化，但是，有时量化的概念被使用得很不准确。比如，信用风险是用在未来不同时间点的潜在损失的最大值来计算的。计算的信用风险用的是给定一个时间点情况下 95% 的潜在损失。然后，最终的信贷风险仍然被称为 95% 信贷风险。但是你真的不知道这 95% 的信用风险是在哪一个概率空间中得出来的。

当时是金融衍生品业务迅速发展的初期。学习这些新产品及其定价模型是很美妙的。经过五个学位的锤炼，当时我觉得自己是行业中准备得最充分的人之一，但是我仍然需要去学习市场惯例，学习编程技能，比如 C 语言、C++、VBA 等编程语言来锻炼我执行模型的能力。强大的数学和统计教育背景无疑为我解决实际问题提供了理论基础。金融和精算训练也很有用，因为这种训练能帮助我将实际问题转换成数学模型。不同专业的博士毕业生来到业界时都感觉手头有不同的“钉子”。有时，仅仅使用手头上的“钉子”来解决所有问题是一种狭隘的观点，因为可能有更好的工具可用于某一特定问题。当时是一个激动人心的时期，因为有许多产品创新、许多新思想，并且业界和学术界的互动非常频繁。

我利用这个机会尽可能多地从教授和行业里有经验的实践者那里学习。例如，John Hull 和 Alan White 非常活跃，并且在多伦多大学开设了一系列研讨会。加拿大皇家银行聘请了Darrell Duffie 教授作为信用风险的顾问，这是我第一次认识他。后来，我经常向他请教关于信用风险和信用衍生产品定价问题。

Q4：在危机前的日子里，数量分析师的情绪如何？随机模型扮演什么角色？

李祥林教授：在金融危机前夕，很多衍生产品定价模型已经经过了时间的考验，并且能够以成熟的模式进行应用—除了信用衍生品模型。信用衍生品市场仍然处于创新的前沿，产品包括 ABS 债券的现收现付（PAUG）CDS 合约、CDX 指数、CDX 证券化、CDS 期权、ABX 指数、ABX 证券化和 CDO 的期权产品等。这吸引了一群传统的和利率打交道的数量分析师。他们仔细研究了信用组合模型的现状，认为信用组合模型缺乏动态，不像通常在利率模型中用随机过程来表示。他们花费了很大的精力提出新模型试图来取代高斯联接函数模型。除了一些组合的期权产品，这些新模型大部分都没能被业界广泛采纳。

金融危机的前几年，我将工作重心转移到了房屋抵押贷款，主要是次级贷款，以及和房屋抵押贷款相关的新产品建模，如 ABS 债券为基础的 PAUG CDS、ABSCDO 和 ABX 证券化。那时候我不是很了解房屋抵押贷款，必须从头开始建立一个团队。我首先面试了一些有经验的房屋抵押贷款建模师。但是，当时的房屋抵押贷款建模侧重于美国政府机构提供信用担保的房屋抵押贷款，这些不需要对信用风险建模，因为美联储机构为违约风险提供了担保，而分析重点主要集中在利率建模。我还发现大多数房屋抵押贷款建模师没有很强的统计背景，特别在生存分析方面没有得到训练。我组建了一个小团队，团队从公司现有的量化人员中挑选了一些已经有较强统计背景的人，并逐渐增加了一些年轻的博士研究生，他们是来自斯坦福大学和哥伦比亚大学的富有能力的博士学生，我们从头开始研究这个问题。我们开始使用多减量理论制表，并转移到动态竞争风险模型。建模包括三个阶段：首先，我们需要对房屋抵押贷款提前返款和违约风险进行基本建模。然后，我们需要对ABS债券中的收入瀑布结构进行建模，因为 ABS 债券已经是证券化产品。最后，我们需要对以 ABS 债券为抵押产品的 PAUG CDS 或更像 CDO 平方的 ABS CDO 的衍生产品进行建模。

我们很快就发现，新发放的次级房屋抵押贷款的违约率比早期发放的抵押贷款高 3 至 5 倍，甚至 6 至 7 倍。如果这种趋势持续下去，那么 ABX 指数债券的定价应该在面值的 30% 或 40%，但是那时它们仍然以接近面值的价格在市场上交易！考虑到ABS团队未来可能要经受潜在损失，我们的心情变得很糟糕。但是这种认知仅限于我们这个小团体，而整个市场仍然是很火热的。在 2006 年夏季之前，由 125 个投资级别名称组成的北美信贷指数 CDX 一直被压低至 27 个基点。然后，在 2007 年 3 月，某一天 30% 的价格下跌给所有人敲响了警钟，在接下来的几年内，人们对这些复杂证券的价值产生了很多困惑。拥有最好的建模师并不意味着能够将信息传递到公司最高层并帮助公司避免危机。劳瑞·古德曼（Laurie Goodman）是瑞银（UBS）长期以来排名非常靠前的房屋抵押贷款分析师，但在金融危机期间，瑞银（UBS）是所有华尔街公司中次级房屋抵押贷款损失最大的一家公司。把关于复杂证券的建模，与隐藏重大损失，还有激励相结合是一个相当大的难题，不论这是出于对巨额奖金的渴求，对股东价值丢失的担忧，还是仅仅为了保留自己的工作。

三、高斯联接函数模型

Q5：让我们从头开始。当您开发出目前称为信用组合违约的“高斯联接函数模型”时，您的想法是什么？

李祥林教授：它的意图是在 90 年代中期为我们在加拿大帝国银行（CIBC）的金融产品部门解决销售和交易业务中的实际问题。例如，我们当时担心单一名称 CDS 合约中的交易对手和参考信用可能同时违约。更具体地说，在亚洲危机之前，我们可能会持有一个信用违约互换（CDS），把韩国开发银行作为参考资产，而把一家日本银行作为交易对手。在 1996 年至 1999 年期间的新兴市场信用衍生产品业务中，我们已经有小篮子信用衍生品，例如，第一个违约（FTD）和第二个违约（STD）。并且现金 CDO 和更多的 CBO 已经被发行，各种信用挂钩票据也已经被创立。

Q6：您最初是如何发现联接函数作为一种方法论工具的？这是否与你在精算学的学术背景有着或多或少的联系？

李祥林教授：在曼尼托巴大学教授精算学时，我从我的同事 Jacques Carrière 那里听说了联接函数。他当时正与威斯康星大学的 Jed（Edward）Frees 教授及他当时的博士生 Emiliano Valdez 一起做研究项目。Emiliano 现在是康涅狄格大学的精算学教授。那个项目是关于通过考虑心碎综合征而对联合生命年金产品进行定价。估价精算师传统中将一对夫妻的生命意外事件视为彼此独立：男性保单持有人遵循男性死亡率表，而女性保单持有人则遵循女性死亡率表。但作为一对夫妻，他们住在同一所房子里，一起旅行，他们面临很多共同的风险。当他们变老时，他们更加彼此依赖。配偶一方的死亡对另一方的影响很大。实证研究表明，这种影响甚至是不对称的：妻子死亡对丈夫生活的影响大于丈夫死亡对妻子生活的影响。他们使用 Great West Life 的数据进行了一些实证研究，发现夫妻生存时间呈正相关，并运用联接函数研究这种关系对联合生命年金产品估值的影响。我从 Jacques 那里得知了这项研究，但当时我没有花太多时间去了解更多细节，因为我正在努力完成一个完全不同主题的博士论文。

我最初花了很多时间用 Duffie 和 Singleton 引入的随机损失率模型并将其应用于 CDO 定价，但我无法使模型适应市场。此外，交易员不喜欢具有大量参数的模型，并且当时即使在 Window NT 3.0 操作环境下，计算量也是非常巨大的。我开始寻求一个“简单”的解决方案。我让 Emiliano 把他与 Jed 和 Jacques 合作的那篇工作论文发送给我。我当时在纽约的 CIBC 金融产品部门工作，他通过传真给我发了工作论文。那时，Roger Nelsen 即将发表关于联接函数的书。我联系到他，让他给我一本预印本，并承诺在这本书出版后再买一本正本。我的论文里引用了他的书，我希望这也帮助他卖了更多本。Paul Embrechts 教授于 1999 年在哥伦比亚大学就联接函数在风险管理中的应用进行了演讲。我走过去告诉 Paul 我过去几年一直在运用联接函数。他很惊讶，问我用联接函数做了什么。我说主要运用它来为信用衍生品定价。Shaun Wang 为产险精算协会（CAS）撰写了一份关于资本配置的研究报告，我也读到了这份报告。我花了很长一段时间在纽约公共图书馆阅读一些关于联接函数的会议记录，特别是关于用极值分布构建联接函数的文章。

Q7：您提到您的博士学位论文是关于一个“完全不同的主题”，是否介意用几句话解释一下它？

李祥林教授：我曾在滑铁卢大学修过大量的统计课程，但从未进行过统计学方面的研究。此外，我期望在博士毕业后就进入业界工作，撰写博士论文可能是我运用统计学做项目研究的最后一次机会。因此，我为自己的博士论文选择了估计函数以及其在可信度理论的应用作为主题。

估计函数理论是一种广义的估计方法，它统一了估计方法，如最大似然估计（MLE）和最小二乘（LS）方法。估计函数是一种关于数据或观测值和被估参数的函数。例如，MLE 中使用的分数函数就是一种估计函数。本质上，它类似于广义矩估计法（GMM），Lars Hansen 也因此获得了诺贝尔经济学奖。我当时正在通过添加先验信息（仍然依据估计函数）来扩展估计函数理论，然后将其应用于可信度理论。在曼尼托巴大学工作时，我与 Harry Turtle 教授一起合作，把我的博士论文中一个小节进行了扩展，并发表了一篇关于应用估计函数理论进行 GARCH 参数估计的论文。我至今仍希望估计函数理论和广义矩估计法这两个领域的研究人员之间可以有更多的互动。

Q8：您提到过 Paul Embrechts。他的论文对定量风险管理中的关联模型研究产生了相当大的影响。请问这是否与您有关？

李祥林教授：Paul 于 1999 年 3 月 28 日在 Columbia-JAFEE 金融数学会议上发表了题为“保险分析：金融风险管理中的精算工具”的演讲。在那个演讲中，Paul 谈论了他与 Alexander McNeil 和 Daniel Straumann 合作撰写的一篇研究论文——风险管理中的相关系数和相关性：性质和陷阱。这也许是联接函数的概念第一次被呈现给金融业的大量听众。那时，我正在写论文，后来被发表在“Journal of Fixed Income”上。但大部分工作早已经在 1996-1998 年间就完成了，当时我正在 CIBC 的金融产品部门工作。Paul 和他的合著者的论文更广泛的讨论了相关性的问题，这对整个业界有很大的影响。当时我只是专注于信用投资组合模型。Paul 是一位非常多产的研究人员，他的研究课题涉及不同的领域，同时他对别人也很有启发和帮助。他是将学术研究与行业需求结合的最好的人之一。我总是向他寻求建议和帮助。

Q9：在您著作中，您提到了多种联接函数类别。在您看来，为什么金融市场最终使用的刚好是高斯联接函数？

李祥林教授：这个可以追溯到公司资产收益模型，正如 Merton 在他的著名文章中所述，公司的资产被模拟成对数正态过程，因此，收益率成为一个正态过程。但是，如果单单从工程学角度来看这个问题：使用联接函数来生成一个基于给定边缘分布的联合分布时，理论上你可以使用许多其它的联接函数。事实上，我们的交易小组研究了各种不同的联接函数，如 Frank 联接函数和基于极值分布的混合联接函数。通过控制顺序相关系数相同的等价相关性，你就可以研究不同联接函数的影响。我觉得当时的领域还没有发展到需要区分由不同联接函数在信用组合模型应用的早期阶段所产生的细微差别。此外，我们还需要对我们选择的联接函数及其参数给出一些经济方面的解释。我知道雷曼兄弟的数量分析专家们好多年一直在推崇使用 Students't 联接函数，但是使用者发现，在担保债务凭证资产的定价方面，高斯联接函数和 Students't 联接函数没什么本质上的区别。

在我的论文中，我列举了一些联接函数。文中与风险交易对手进行信用违约互换的例子就是基于混合联接函数，第一个违约定价的例子是基于高斯联结函数。我没有特别推崇高斯联接函数，更不用说“单因子高斯联接函数“。我所展现的是一个一般理论框架，这篇论文同时也建立了高斯联接函数和单一期限默顿模型之间的联系。

市场参与者需要一个简单的模型来互相交流。大家都知道运用布莱克-斯科尔斯-默顿公式并用隐含波动率来进行期权定价。同理，我们运用单因子（或者单参数）高斯联接函数来进行北美，或欧洲信用利差指数证券化产品交易。我认为高斯联接函数的流行是因为它的经济解释和它的简单性，尤其是单个相关参数的高斯联接函数。

Q10：现在业界是否有意识到各种商业信用组合违约模型都可上升到和高斯联接函数产生的相同的相关性结构，只是大多数人都不知道高斯联接函数？

李祥林教授：确实有人使用过联接函数这个观念的想法，但是他们大概不知道联接函数本身这个概念。1995 年，在穆迪公司工作的 Joe Pimbley 撰写了长达 12 页的关于如何为联合违约建立动态模型的报告。在报告中他描述了所有的关于信用投资组合模型的动态模型的基本元素：关于收益率曲线的随机利率模型、关于信用差的动态模型，同时在对违约进行“测试”的每一步过程中加入违约。但是他并没有详细说明如何模拟违约时间以及如何把资产回报率进行关联。

许多信用模型论文在 1994-2000 期间发表。Duffie 和 Singleton 在 1994 年以工作底稿的形式发表了他们的论文，并在 1999 年完成了最终版本。Jarrow-Turnbull 论文在 1995 年被发表。大约在 1995 年，Vasicek 的 KMV 模型技术文件公布。摩根大通的信用计量模型技术文件[1]，瑞士信贷第一波士顿银行的信用风险附加模型技术文件，麦肯锡的信用组合观点模型，全部都发布在 1997 年和 1998 年。

作为一名信用领域的从业人员，我对该领域最新的研究成果及时跟踪，而且花费大量的时间来进行研究，也受益于与大多数作者的直接接触。在我工作于加拿大帝国商业银行的时候，Turnbulll 教授先后在加拿大帝国商业银行担任顾问以及全职员工，许多将联接函数运用在信用组合的想法在这里被构思、研究并被应用于解决关于信用衍生品定价和交易的实际问题以及信用组合建模。我经常请教 Turnbulll 教授，而且他应该是第一批经我介绍使用联接函数进行信用组合建模的专家之一。我在 1995 年就认识了 Duffie 教授，我经常和他见面，希望得到他的建议或者从他那里了解学术界的最新发展。在 2000 年旧金山举行的精算师协会（SOA）50 年周年会议上，我作为 SOA 投资委员会成员，组织了一个关于信用组合模型的会议，并邀请了信用计量模型三位作者之一的 Chris Finger、信用风险附加模型的主要负责人 Tom Wild 以及麦肯锡信用组合观点模型的创始人 Tom Wilson 作为会议嘉宾 。我知道 KMV 模型、信用计量模型和 Joe Pimbely 在他的笔记中暗指的都是基于高斯联接函数，尽管他们的方法中没有明确地使用联接函数这个概念。将这些模型明确地与高斯联接函数相联系有助于对模型概念的理解和可能的扩展。此外，它还有助于有效的实施。例如，基于条件独立的单因子模型大大提高了高斯联接函数模型的计算速度。

我在 1999 年初加入 RiskMetrics 公司（RMG）时，我告诉了 Chris Finger 有关信用计量模型方法和高斯联接函数模型之间的等价性。我们在一块白板前对技术细节讨论了两个下午。实际上，是 Chris Finger 强烈建议我写一篇相关论文。我听取了他的意见并将其作为 RMG 的研究论文之一公布于众。Chris 把工作文稿送给了 Micky Bahtia，然后 Micky 打来电话并建议我尽快把论文送出去发表。

我查阅和研究了上述所有的方法，但当时我主要关心的是解决在信用衍生品销售和交易中所面临的实际问题。上述每一种方法都从不同的角度处理信贷相关问题，但在实践中，它们未必都能用于定价和估值。例如，信用计量模型、KMV 模型和信用组合观点模型大多都是单时段模型，其目的是获得一段时间内的损失分布，以便进行信用风险管理及经济资本计算。

第一个概念上的挑战是摆脱单时段，主要是一年的时长，这似乎被评级机构和信用投资组合模型领域的许多机构所使用。但对于信用衍生品的交易，我们无法避开违约的期限结构。实际上，期限结构很重要，因为如果一家公司没有债务到期，它一般不会违约。在亚洲金融危机之前，韩国开发银行（KDB）是经常交易的一个信用主体。从亚洲金融危机爆发开始，韩国产业银行（KDB）的信用利差就呈现出明显的驼峰形走势，在初期的两到三年内上升，随后开始下降。这是我第一次如此清楚地看到驼峰形的信用利差期限结构。市场如此反应是因为那时亚洲金融危机才刚刚开始，没有人知道什么时候会到达最低点，这也解释了利差在最初的两到三年中增长的原因。但是长期来看，市场推测，如果能够在接下来的几年内克服困难，韩国依然拥有良好的主权信用。现在一切都已经尘埃落定，韩国开发银行的信用利差走势和交易员在危机发生时的推测如出一辙。因此，我首先尝试解决信用利差的期限结构问题。我们没有花费太多的时间就构造出了一条由损失率的期限结构所表达的“信用曲线”。我们采用了和生命表中体现个体寿命的“生成时间”类似的方法来描述每个信用的生成时间，并将其作为标的变量。用生成时间来衡量违约让我们可以轻松地对单一名称信用违约互换期权进行定价。考虑到违约可能在保险缴费期间内的任一时刻发生等问题，我们简单地选择了连续型近似法，而非假设违约发生在缴费期间末或缴费期间中的 JP Morgan 方法或 Hull-White 方法。

毫无疑问，这其中会涉及到一些关于违约后可回收比率以及回收处理假设的问题。从模型建立的视角出发，我更倾向于采用 Duffie-Singleton 回收处理假设，因为对未来起点的交易，比如未来为起点的信用违约互换时，它可以得到更一致的结果。我曾经写过一篇关于“如何建立信用曲线“的论文，作为专题报告发表在了 1998 年的《风险杂志》上。在文中我提出了”违约时间“概念，也就是生成时间，用来建立单一名称违约的模型，同时阐述了怎样基于一些市场的可观测变量来建立信用曲线，例如债券价格或资产互换息差。这可能是最早的一篇关于建立信用曲线的论文。当你对信用组合中的每个个体都建立了信用曲线后，你希望得到一个可以用于描述信用组合中联合违约资产的生成时间联合分布。这时联接函数就派上用场了。

我们很快就面临着“选择哪个联接函数？”和应该怎样处理联接函数中的参数问题。那时正值信用计量模型（即技术文档）发布，我也阅读了 Vasicek 在 1995-1996 年关于信用组合模型的手写笔记。这样就建立了高斯联接函数和 Merton 模型之间的一致性关系。这个关系一被建立，我们立即就得到了高斯联接函数中的参数的意义：资产收益相关系数。我们用 KMV，甚至更简单的信用计量法中基于股票风险因子模型，以及资产规模和公司的非系统风险之间的经验关系来得到资产收益相关系数。该模型的首次应用是在我们的单一名称信用违约互换头寸上，考虑到了交易对手的违约风险。使用联接函数对第一个违约、第二个违约以及债券担保证券的定价变得非常简单。因此，高斯联接函数被选中的原因主要是因为我们建立的公司资产收益率模型是基于正态分布。在这个模型的一般形式中，我们可以用一对对不同的相关系数来建立相关系数矩阵，而不是仅仅用“单因子”或是单一参数的高斯联接模型这样针对交易而进行简化的相关性结构。我们花了大量的时间研究怎样利用不同的相关结构来降低维度和快速计算方法（例如主轴分析法）。

四、2008 年的信用危机

Q11：金融行业在何时首次接收到了来自高斯联接模型信号的警告？它是怎样做出反应的？

李祥林教授：2005 年时，高斯联接函数模型在校正市场价格时遇到了一些问题，这是因为大家对汽车行业的违约感到担忧。因为股权部分的利差变得很高，导致模型在对某些特定的中间层的基础相关系数进行调整时遇到了困难。在这样的情况下，你需要思考这些问题发生的原因：是模型的问题还是因为市场对某一特定证券化部分的定价不理性？举个例子，欧洲的信用利差指数（ITRAXX）美元出现类似美国对汽车行业违约产生担心的情况，但是它在校正中间层的基础相关系数时也存在问题。我曾经和一位伦敦交易员交流，建议他出售股权层的违约保险，同时买入中间层的违约保险。几天之后他就得到了超过一千万美元的收入，他还建议我创办一个内部的对冲基金！

在新的市场中，我们要关注一下到底是市场有效还是模型有效。对于一个基本市场的简单金融工具，交易员作为一个整体可能会对交易产品的价格作出理性判断。但是在一个全新的市场中，交易者在初期很难对复杂产品给出合理的报价。例如在欧洲信用利差指数证券化产品交易的初始阶段，只有少数几家大型投资银行提供欧洲信用利差指数证券化产品的双向报价。这些银行每天早上都向他们的客户发出买卖价的报价单。有一天，一个交易者有意地发出了朝一个方向影响市场的，但具有更大买卖价差的报价，令他感到意外的是，很多其他公司的报价也随着他的报价方向走。

我们在一段时间内使用单因子的高斯联接函数和基础相关系数曲线，直到 2005 年我们在市场上对模型参数进行校正时遇到了一定（短暂的）的挑战。很多人在研究并推出其他可以替代单因子的高斯联接函数模型。但是直到现在，我还没有看到一个被普遍认可，且可以用来服务交易为目的、可替代的信用组合模型。最常见的模型依然基于高斯联接函数和基础相关系数曲线，不过是对其中某些方面进行了修正，比如说用随机的回收率。

我们是要对高斯联接函数模型一些理论基础提出疑问。通常对它的批判都是尾部独立、静态相关结构或不佳的对冲绩效。我希望对以上几点做如下的详细解释。

• 尾部问题：正如前面所述，我们使用高斯联接函数的原因是我们用布朗运动对资产收益进行建模。几乎所有的金融理论都基于正态分布。用基础相关系数曲线处理证券化之后高级层“相关/依赖性不足”问题的一种办法，这和高斯联接函数的尾部独立存在着一定的联系。基础相关系数和期权隐含波动性的概念类似，而波动率有微笑或歪斜的特点。为了克服尾部独立，我们还可以使用混合高斯联接函数模型或高斯联接函数模型再加上随机回收率，它们和期权定价中的随机波动率模型相似。
• 静态相关结构：这是一个比较模糊的说法。在一个基于生成时间分布的关联模型中我们仅仅以是否违约对每个信用主体进行描述，就像是把人们分为“好人”和“坏人”一样。它拥有自己的动态性质，也许它的动态性太强劲了。例如，如果从条件的视角来看相关性，你会观察到高斯联接函数模型产生过强的相关性：组合中的一个名称在一年内发生违约的情况下，另一个与其存在正相关性名称的条件损失率会迅速上升。但是在高斯联接函数框架下，损失率需要很长的时间才能下降到原来的无条件损失率水平。

很多模型建立者觉得我们需要写出一个随机扩散方程来才能得到动态模型。我们可以利用随机过程来描述每个信用的损失率，并在损失率水平的过程中引进相关性。这是我试图实施的第一种方法。令人遗憾的是，它没能很好地产生和市场一致的结果，也无法承受计算量的负担。我花了一段时间才直观地理解了这个结果。你可以把损失率理解为事件违约的“波动率”。无论“波动率”水平相关结构有多强，违约事件的相关性依然很弱。Duffie 和他的博士生们在这方面的做了大量研究，来改善随机损失率模型，通过在所有单一损失率过程中考虑共同的驱动因子或加入跳跃过程。这对解释现实世界的损失率变化确实有所帮助。但是这个模型不是简约的模型，我们需要很多参数，并且这些模型在实践中很难实施和使用。我们如何使用这样的模型来管理数百个组合交易类型的日常交易呢？

2005 到 2008 年间出现了很多“第二代”的信用组合模型，它们中的很大一部分源自利率模型的范畴。在这些模型中，主要的着重点是整体信用组合损失分布的演变，每个单一信用的贡献只体现在期望信用组合损失函数的初始期限结构上。具体某一段时间内的损失分布只能通过由整体损失分布的一个随机过程来获得。对于信用组合损失分布的形状和形式的研究甚少。除了与期望信用组合损失分布的关联之外，个体信用分布的动态性几乎消失殆尽。

如何对冲信用风险仍然需要我们做更多的研究。我们对冲的是信用利差风险还是违约风险呢？很少有实证研究是针对基于高斯联接函数模型建立的信用利差风险的对冲表现，即使有，他们的结论也不明确。也许可能是我有所遗漏，我确实没有读到过很多关于这方面的研究。Alex Reyfman 在他就职于贝尔斯登（Bear Sterns）时曾经写过一篇研究报告。我们在花旗（Citi）和巴克莱（Barclays）做了许多内部研究，依然没能得出一个明确的结论。针对违约风险的对冲则更加复杂。例如我们研究一个"小篮子"信用违约对冲问题，比如说四个信用组合中的第一个违约的信用掉期合同。如果要实现一个完美的对冲，我们需要所有下列交易证券：所有四个信用的单一信用违约掉期，每两个信用组合中的第一个违约，每三个信用组合中的第一个和第二个违约。此外，如果你没有一个完美的对冲，测试对冲性能需要很长时间，因为，违约本身就是罕见的事件。

当我作为金融机构销售交易部门从业者的时候我就意识到了这些问题，并且和当时我领导的团队以及同事们做了很多这方面的研究。我们可以针对高斯联接函数模型从技术角度指出更多问题，但是要想找一个替代模型来解决这些问题却是非常有挑战性的。我希望看到更多关于这方面的学术研究。

Q12：外界可能会认为：金融行业已经在担保债务凭证（CDO）领域建立了规模几十亿美元的风险管理业务，且仅仅通过一个公式，而这个公式又仅仅由一个人在很短的时间内发明。这样的观点是否有一定的真实性呢？还是他们把事实过于简化了？为什么在关联模型研究或与学术界的合作等重要方面没有更多的研究活动呢？

李祥林教授：高斯联接函数模型至今仍然被应用在信用组合风险管理和信用组合交易领域。无论是否有模型，衍生品市场都在发展。例如，在 B-S 公式问世很久之前，人们就开始交易期权了。当然，某个模型如果能被广泛接受，将能帮助甚至有时能加快市场发展出新产品。我的论文发表于 2000 年，论文中的模型是 1997 年左右在加拿大帝国商业银行（CIBC）就已经实施了。但是信用衍生品市场和信用组合交易在 20 世纪 90 年代初就开始了。

信用衍生市场的早期发展需要好的模型来解决我们在实践中遇到的问题和挑战。债券评级机构以及其他的从业者当时用不同的模型来为债券支持证券（CBO）和贷款支持证券（CLO）评级。举个例子，穆迪（Moody's）用过一个叫“二项展开式”的模型来为组合交易评级。到了 04 年或者 05 年，三家主要的评级机构穆迪（ Moody's）、标普（S&P）和惠誉国际（Fitch）就都开始用高斯联接函数模型方法来做评级了。

信用组合模型是个既有趣又困难的问题。首先，违约事件很少发生，保险中用于解决此类稀少事件的早期工具大多是基于独立性的假设。其次，违约现象除了受到单个企业情况的特殊影响外，也会在很大程度上受到宏观经济因素的影响。我们观察到的违约集中发生是和经济周期紧密相关的。第三，用于日常交易的模型一定要操作简便。举个例子，我们要能检查出像图 4 展示出的那些损失分布形状的变化。过去的 20 年中学术界和业界想出来许多其他模型，这些模型中的每一个或许适用于某一种特定的情况或用于特定的交易，但没有一个模型能完全取代高斯联接函数模型。

图 4

虽然我写出了第一份关于应用联接函数到信用组合建模的论文，但这不仅仅是我一个人的努力。像我之前所说的那样，我曾经有机会与顶尖的学术研究人员和优秀的从业者们交流互动，他们在这个想法的形成和具体实施过程中起到很重要的作用。那段时间还有许多其他不同的想法和方法发表，它们也促进了我这一想法的形成。当时许多人可能未必认可我的想法。比如我当时和 Darrell Duffie 教授交流过很多次，每次遇见他都跟我说“我不喜欢联接函数这种方法，但我目前也想不到更好的解决方法”。我当时把我这个将联接函数用于信用组合建模的想法最先正式展示给了 Stuart Turnbull 教授，他听后也并没有很激动。但其实我提出这个想法的目的就是要解决实际问题，因为我当时是在信用衍生品组工作，组里每天都会产生新的产品构思和交易想法。那时候白天我会和交易员以及结构交易分析员交流来了解实际问题，晚上我就读一些学术研究论文和行业研究论文来为这些问题寻找好的解决方案。我尽可能地吸收所有的学术研究以及该领域的最新发展。

作为一个实践者，我很乐意和其他人尤其是学术界的人交谈各种技术问题，我希望我们能找到更好的解决方案，尤其是要找到理论上合理的解决方案，而不仅仅是“工业捏造”的解决方案。我曾经在一些顶尖大学如哥伦比亚大学、斯坦福大学、复旦大学做过演讲。有一次我和我在花旗银行的老板 Thierry Bollier 与一群包括 Ken French 在内的顶尖学者坐在一桌。当时 Thierry 就问了和你一样的问题——“为什么学术界的人不能多花一些时间来研究像信用组合建模这样的实际问题呢？”Ken 先是提出反驳，他认为我们的这些问题不如金融学中的最优资本结构或者股权谜题那么重要，之后他承认说学术界的人并不了解这些问题，而且也得不到数据。

总的来说，高斯联接函数模型至今仍然在使用中，在 KMV 和 CreditMetrics 中被用作为信用组合风险管理模型、在信用衍生产品中作为交易模型，它也被各大评级机构用于为结构化信用产品评级。我在文章中明确地建立了联接函数与这些模型之间的联系，但是这个领域的发展依赖于许多其他人的推动。

Q13：如果时间倒回过去，您会对您 2000 年的那篇文章做出何种改动呢？

李祥林教授：我对这篇论文的看法是它用工程学的方法来解决了实践中一个棘手的问题。当时我在风险度量公司（RMG）做研究员，为客户写研究论文是我正式工作的一部分。这就解释了为什么我把论文写成了风险度量公司的工作论文，我只是总结了一下几年前所做的研究。我不是一个多产的作家，因为我是一个从业者，我的主要职责是为我所在的公司解决商业问题。

这篇论文背后并没有一个强有力的金融经济学理论。因此我把论文提交给《固定收益杂志》而不是一份更加学术的期刊。多年来我一直在思考这个问题，我希望我能再写一篇关于这个话题的论文，并给这个方法增加更多的理论视角。某些关键问题在这篇论文中没有得到很好地讨论和解决，例如关于时间范围和风险度量变化的问题。

Q14：当您把论文提交给《固定收益杂志》时，审查报告的语气是什么？

李祥林教授：我没有得到太多的评论。我想这是一份从业者的期刊，并且文章的方法是全新的，文章的话题当时也很流行，因此它很适合这个期刊。

Q15：让我们言归正传：您的模型真的像《连线》杂志著名文章《灾难的配方：摧毁华尔街的公式》所指责的那样摧毁了华尔街吗？

李祥林教授：金融危机起源于次贷危机，次级抵押贷款是向信用较差的借款人发放的抵押贷款。按揭贷款有两种风险：提前支付风险和违约风险，这与只受到违约风险影响的公司债券完全不同。正如之前提到的，我们使用生存时间来描述一个违约事件，然后使用联接函数构造一个联合生存时间分布。对于抵押贷款，我们必须使用多重递减理论来描述违约风险和提前支付风险。从建模的角度来看，很显然不能应用联接函数模型进行房屋抵押贷款的建模。当然，行业中有人试图“捏造”模型，假设提前支付是固定的，那么每个抵押贷款只受到违约风险。

其次，资产支持证券（ABS）或债务抵押债券（CDO）中的单一信用个数不一样。资产支持型证券（ABS）中的房屋抵押贷款总额可能在几千到几万之间。在企业信用组合建模中，我们在一个投资组合中通常最多只有上百种信用资产。房屋抵押贷款违约和提前支付的根本影响因子是利率、房价价格指数（HPI）、借款人自身的特征（如贷款房价比、信用评分），以及贷款本身性质（如固定或浮动利率），等等。我使用了一个 “动态竞争风险模型”用于次级房屋抵押贷款建模，用 Cox 模型同时处理提前支付风险和违约风险，并将借款人的信用和贷款特征作为协变量。这是一个动态模型，因为利率和房价上涨指数（HPI）都是动态变量。

所以从建模的角度来看，高斯联接函数模型与次贷危机完全无关。实际上，在金融危机期间，CDX 和 ITRAXX 或任何企业信贷组合证券化产品的交易仍然都在使用高斯联接函数模型和基本相关性曲线，而且没有遇到什么大问题，至今仍在使用。由于在金融危机期间，人们对模型和市场进行调整时遇到了一定困难，因此模型本身也必须得到加强和修改。

这篇文章的作者费利克斯·所罗门（Felix Salomon），曾试图联系我。当时我在北京一家投资银行工作，有一天他通过总机联系到我，我不得不告诉他，由于公司的政策我不能和他交流。我对这篇文章感到惊讶，尤其是它的标题。

Q16：您提到了 Cox 等比例损失模型在信用组合建模中的重要性，您是如何使用它们的？

李祥林教授：我们使用具有广义可加模型结构的 Cox 等比例损失模型进行次级抵押贷款建模。这完全不同于公司信用组合模型，在公司信用组合模型中，每笔交易最多有上百个潜在的信用名称，我们希望尽可能多地使用单一信用信息。而对于次级房屋抵押的资产证券化产品（ABS）来说，每一种债券都可能有几千甚至两万份个人房屋抵押贷款作为内在资产。这就是为什么我们想使用一个统计模型来捕获贷款的主要特点，如信用分数（FICO score）、物业类型、贷款类型和动态驱动因子如利率和房价价格（HPI）等。我们使用竞争风险模型，因为每个房屋抵押贷款受到不同类型的风险影响：提前支付风险和违约风险，动态因素对提前支付风险和违约风险影响的函数形式可以用广义可加模型（GAM）来处理。因此，我们把用于次级房屋抵押贷款的模型称为“带有 GAM 结构的动态竞争 Cox 等比例损失模型”。

Q17：一些学术论文给人的印象是，简单的从高斯联接函数转变到一个更合适的联接函数类就可以避免信贷危机，您同意吗？

李祥林教授：我不这么认为。如前所述，该模型与金融危机完全无关，尤其是次贷危机，该模型可能帮助了公司组合信用衍生品市场发展成为一个大市场。

你当然可以使用不同联接函数以便更好地适应市场价格。但是这并不意味着你已经解决了问题，你只是做了一些工程上的改进。早在 1997 年，我在加拿大帝国商业银行（CIBC）的信用衍生品交易和量化部门，我们有一群非常有才华的人 Philippe Hatsdadt、 Tarek Himmo、Josh Danziger、Gerson Riddy 和 Stanley Myint，就用哪个联接函数我们进行了很多内部辩论。这就是为什么我在论文中列出了一类联接函数，并展示了如何通过控制它们的顺序相关系数来比较不同的联接函数。

雷曼兄弟（Lehman Brothers）的数量分析专家最初主张用t联接函数来取代高斯联接函数，因为 t 联接函数表现出渐近性尾部相关性。然而，表明，t联接函数比高斯联接函数对相关性微笑的描述更差。

我鼓励人们花更多的时间和精力从金融经济学的角度来研究该模型的理论问题。在目前的阶段，它仍然是一个解决复杂问题的纯粹工程模型，没有理论支持。从某种意义上说，这是相当可悲的，因为我们 20 多年来一直在面临信用组合问题，却没有一个可靠的理论。我在研究生期间接受过正规的金融经济学培训，完全意识到理论突破和简单的工程方法之间的区别。

Q18：考虑到 2007+ 的金融危机是一个代价巨大的定量分析研究的案例，我们应该从中学到什么来防止将来发生类似的灾难？

李祥林教授：我可以强调几个使用了错误模型的案例，这可能是导致金融危机的原因之一。我希望在金融危机爆发之前，我们能有一个标准的、公开的、普遍接受的次级房屋抵押贷款模型，就像企业信用组合建模中的高斯联接函数模型一样流行。因为在金融危机期间，不同的公司对次级房屋抵押贷款为抵押资产的资产支持证券（ABS）和债务抵押债券（CDO）的估值有很大的不同。

穆迪的 BET 模型曾经是所有债务抵押债券（CDO）的评级模型，如今仍在贷款抵押债券（CLO）评级中使用。评级机构对 SIV 交易采用了“逐期”的联接函数模型，大大低估了抵押品组合中的相关风险。这在很大程度上导致了 SIV 交易被降级，使投资者遭受了巨大损失。

我希望更多的学者能花时间和精力研究实际问题。我仍然认为模型是解决现实问题的有用工具。我们已经进入了大数据和金融科技的时代，但关键因素仍然是量化方法。

Q19：在公众舆论中，定量模型被认为应对管理不善负责，其有效性受到质疑。您如何回应这样的争论？

李祥林教授：模型只是整个业务的一部分。我建议我们应该一直努力建立更好的模型，但更重要的是要有能够构建模型并理解模型的缺点、理解业务的人。

正如许多人所说，模型只是一个工具，你不能责怪工具。应该由使用工具的人来承担滥用工具的责任。在许多复杂的情况下，模型是不可替代的。例如，你可以在不使用模型的情况下预测股票价格的上升或下降，但如果预测股票价格以 80% 的概率上升，以 20% 的概率下降，你已经在用一个定量模型了。

随着我们越来越依赖大数据及机器学习的技术，更多的模型会被人们使用。但是通过回溯测试来理解模型的局限性、我们所做出的假设以及模型在实际情况下的适用性是非常重要的。

Q20：请问您认为在信贷危机之后出现的一些学术论文如果早在 10 年前就发表的话，可能会阻止这场危机吗？

李祥林教授：我不知道在金融危机发生以前有任何一篇论文可以预知并预防金融危机。我记得很多年前，一位著名的应用数学家曾经说过“数学，在每一个应用领域，都是一个好的仆人，但不是一个很好的主人”， 对于金融业中使用的模型也是如此。模型是现实世界现象的抽象，每个模型可能可以解决一个问题，但是不存在可以解决一个领域中的所有问题的“通用模型”。现实世界中的问题往往比学术论文解决的典型问题更为复杂，同时，这些问题的模型也非常复杂。如何判断模型是否真正解决了现实世界的问题是一个很大的挑战。你真的需要有一群人，他们能够很好地理解问题，同时也能很好地理解模型，并能判断出模型对于该问题的适用性。随着在日常决策中我们更多地使用人工智能或机器学习，上述问题将变得更加重要。

Q21：有各种回顾性的书籍、论文、电影解释了金融危机。请问这些之中有哪一个最接近您经历的现实吗？

李祥林教授：在金融危机之后的一年多时间里，我不想读任何关于危机的读物。我在北京，另一个国家，另一个经济体工作，并试图帮助解决另一组完全不同的问题。

然后，我花了很多时间与一群经济学家一起，试图研究像中国这样的国家如何发展自己以及全球主要经济体如何相互作用。从宏观角度拓宽了我对金融危机的看法。然而，如果我一直继续领导关于交易业务的量化团队，我就无法做到这一点。

我读了几本书，迈克尔·刘易斯的书读起来总是令人愉快，同时还有伯南克、盖特纳、保尔森的回忆录、《大而不倒（Too Big to Fail）》。我还观看了电影，如《商海通牒（Margin Call）》和《大空头（The Big Short）》。很难挑出一本书、一篇文章或者一部电影可以涵盖所有事情；每种叙述都提供了不同的有趣的观点。

Q22：经过长时间的沉沦，CDO 市场正在复苏。我们是否在方法上已经达到了能够控制现在的风险的程度？

李祥林教授：把一类资产或风险放在一起，然后将它们切割成不同部分（证券化）的基本技术至少存在了几百年。例如，具有免赔额和上限的再保险条约已经存在了几个世纪，它非常像 CDO 证券化产品。对于基本的 CDO 市场，我觉得高斯联接函数模型加上基本相关系数曲线和一些扩展，应该能够合理地处理 CDO 市场。但是我们还应该在这个领域进行更多的基础研究。

Q23：发现自己的照片被刊登在华尔街日报（WSJ）上，并因此（隐含地）成为金融危机的替罪羊的感觉如何呢？

李祥林教授：我不是一位喜欢公开曝光的人。华尔街日报文章的作者 Mark Whitehouse 是哥伦比亚大学的 Paul Glassman 教授介绍给我的。Mark 在获得奖学金在哥伦比亚大学学习之前，曾在路透社工作多年，是一位很有成就的记者。在哥伦比亚大学获得奖学金项目期间，他还获得了 MBA 学位。2005 年，当信用市场出现动荡时，Mark 希望更多地了解它，Paul 建议他与我交谈。Glassman 教授是1995年我在加拿大渥太华的一次随机模拟会议上就认识了。

我当时只是帮助 Mark 了解市场，最多期望在华尔街日报 C 版的文章中得到一两句话的引用。但是一篇关于市场的文章，如果再加上一些关于人的故事，很容易被期刊刊登在头版文章中。如果你仔细阅读这篇文章，会发现这是一篇关于信贷市场的文章。该文章于 2005 年 9 月在“华尔街日报”头版上发表。

Q24：从职业角度说，信贷危机如何影响您？媒体报道在其中发挥了什么作用？

李祥林教授：金融危机对所有从事结构性信用产品业务的人都产生了一定的影响。我的许多同事离开了这个行业，有些人因为业务损失了数十亿美元，永久离开了。作为一名量化分析师，我经常和人们开玩笑说“我们从来没有造成任何问题，但总是想努力解决一两个问题”。

2008 年 6 月，我在一家中国顶级投资银行担任首席风险官，并搬到北京工作。当金融危机彻底爆发时，我不在华尔街。我有这样一种奇怪的感觉，远离华尔街，观察金融危机的演变，从次贷危机到华尔街危机，最后到金融危机，以及全球所感受到的影响。例如，作为一名首席风险官，我不得不应对 Lehmann 亚洲一家子公司通过我们的经纪业务购买一些股票，但是因为 Lehmann 的破产而无法进行交割的紧急情况。作为一名从事引起金融危机发生的业务部门的员工，我知道金融危机对我所在公司或其他公司可能产生的影响。但是，我们中没有多少人预计到危机会对全球经济产生巨大影响。因为我们都将精力放在一个业务线，以及和其直接相关的业务。换句话说，我们对整个情形没有很好的宏观把握。

当时我们公司的首席执行官经常就金融危机让我提供咨询。他很惊讶的发现我做了一些正确的“预测”和判断。结果，我被邀请到其他一些金融机构和政府机构进行宣讲，但都是一些闭门会议。

在很大程度上，我更专注于我的新工作。我于 1987 年离开中国，在 2008 年才回国。我在国外工作和学习的 21 年，中国成为一个经历了巨大变化的国家。从历史角度来看，这种变化在规模、速度和影响方面是前所未有的。我很高兴让自己重新融入一个新的国家、文化，并成为其发展的一部分。我有更多的责任，涵盖了多个不同领域，管理整个风险部门，我从头开始建立了一个新的量化组。此外，我还管理一个 IT 团队，构建一套全球股票交易系统，包含算法交易，固定收益和风险管理系统。我也成为一些政府机构和大公司的顾问，并加入了一些智库。

媒体报道大多发生在 2009 年，对我影响不大。我们公司的公共关系部门对涉及公司名称的任何新闻都有一定的监控能力。每当有一个带有我名字的新闻文章出来时，我都会收到通知。在大多数情况下，我只是忽略了它们。

Q25：我找不到很多关于您的采访？为什么您之前不接受采访，谈谈关于您在信贷危机中扮演的角色？

李祥林教授：我不是一个喜欢得到别人或媒体关注的人。在研究方面，我非常乐意与可能感兴趣的任何人讨论。金融危机是由许多力量结合造成的。这是一个如此广泛的话题，而我仅仅也是碰巧在引发金融危机的业务中工作。信用组合模型的联接函数方法，或其简化版本的高斯联接函数模型，已经被广泛应用于行业当中，这也许在一定程度上帮助了信用组合业务的快速发展。从学术角度来看，它只是解决复杂问题的一种简单而优雅的方式，从理论的角度来看，它并没有什么值得显著关注的地方。这个领域还有更多的工作要做。

参考文献：

1. Bhatia, M., C. C. Finger, and G. M. Gupton (1997).CreditMetrics™– TechnicalDocument. J. P. Morgan & Co, New York. Available at http://www.defaultrisk.com/_pdf6j4/creditmetrics_techdoc.pdf.
2. Duffie, D. and K. J. Singleton (1999). Modeling termstructures of defaultable bonds. Rev. Financ. Stud. 12(4), 687–720.
3. Durante, F., G. Puccetti, and M. Scherer (2015).Building bridges between mathematics, insurance and finance. Depend. Model.3(1), 17–28.
4. Durante, F., G. Puccetti, M. Scherer, and S.Vanduffel (2017). My introduction to copulas. Depend. Model. 5(1), 88–98.
5. Embrechts, P., A. J. McNeil, and D. Straumann (2002).Correlation and dependence in risk management: Properties and pitfalls. In M.A. H. Dempster (Ed.), Risk Management: Value at Risk and Beyond, pp. 176–223.Cambridge
6. Frees, E. W., J. Carriere, and E. A. Valdez (1996).Annuity valuation with dependent mortality. J. Risk Insur. 63(2), 229–261.
7. Frees, E. W. and E. A. Valdez (1998). Understandingrelationships using copulas. N. Am. Actuar. J. 2(1), 1–25.
8. Godambe, V. P. (1960). An optimum property of regularmaximum likelihood estimation. Ann. Math. Statist. 31(4), 1208–1211.
9. Hansen, L. P. (1982). Large sample properties of generalizedmethod of moments estimators. Econometrica 50(4), 1029–1054.
10. Jarrow, R. A. and S. M. Turnbull (1995). Pricingderivatives on financial securities subject to credit risk. J. Finance 50(1),53–85.
11. Li, D. X. (2000). On default correlation: A copulafunction approach. J. Fixed Income 9(4), 43–54.
12. Li, D. X. and H. J. Turtle (2000). SemiparametricARCH models: An estimating function approach. J. Bus. Econ. Stat. 18(2),174–186.
13. Mashal, R. and M. Naldi (2001). Pricing multinamecredit derivatives: Heavy tailed hybrid approach. Available at http://www.faculty.idc.ac.il/roy/Pub/Mashal_Naldi_Hybrid.pdf.
14. Mashal, R., M. Naldi, and A. Zeevi (2003). Extremeevents and multi-name credit derivatives. In J. Gregory (Ed.), CreditDerivatives: The Definitive Guide, pp. 313–338. Risk Books, New York.
15. Merton, R. C. (1974). On the pricing of corporatedebt: The risk structure of interest rates. J. Finance 29(2), 449–470.
16. Nelsen, R. B. (2006). An Introduction to Copulas. Second edition. Springer, New York.
17. O’Kane, D. (2008). Modelling Single-name and Multi-name Credit Derivatives. Second edition. John Wiley & Sons, Chichester.
18. Salmon, F. (2012). The formula that killed Wall Street. Significance 9(1), 16–20.
19. Wang, S. (1998). Aggregation of correlated risk portfolios: Models and algorithms. In Proceedings of the Casualty Actuarial Society, pp. 848–939. United Book Press, Baltimore MD.
20. Whitehouse, M. (2005). Slices of risk: How a formula ignited market that burned some big investors. The Wall Street Journal.
21. Wilde, T. (1997). CreditRisk+: A Credit Risk Management Framework. Credit Suisse First Boston International, London. Available at http://www.csfb.com/institutional/research/assets/creditrisk.pdf.

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对我的启发

成功的学者应该具备的一些条件：

• 坚实的基础
• 广博的见闻
• 多样的技能
• 优质的圈子