时间复杂度

时间复杂度

1、时间频度

时间复杂度通常是衡量算法的优劣的，衡量算法的时间严格来讲是很难衡量的，由于不同的机器性能不用环境都会造成不同的执行时间。算法的执行时间和语句的执行次数成正比，因此通过计算执行测试来推断执行时间。算法中语句执行次数称为语句频度或时间频度，记为T(n)，n是问题的规模，T是Time，即时间频度。

2、时间复杂度

n不断变化时，T(n)也在不断变化，为了考察两者变化时呈现什么规律，可以使用时间复杂度来计算。

通常操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),存在一个正常数c使得f(n) * c >= T(n)恒成立。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

简言之，只要计算一下语句的执行次数和n之间的关就可以了，去除系数部分，低阶项目部分，就是时间复杂度的值了。

3、 时间复杂度的计算

3.1 给定任意长度数组，读取数组第一个元素的值

无论数组长度n为多少，代码执行一次。因此，时间复杂度为O(1)。

//无论数组的长度n为多少，
public void firstEle(int[] arr){
  return arr[0] ;					//代码只执行一次。
}

3.2 循环n次，输出hello world

随着n的增大，打印函数逐渐增多。打印代码执行的次数是n，因此时间复杂度为O(n)。

for(int i = 0 ; i < n ; i ++){
  //执行一次。
  System.out.println("hello world") ;
}

3.3 打印99乘法表

打印99正方乘法表，打印语句输出9 * 9 = 81次。

打印语句执行次数：$$n * n = n^{2$$，因此时间复杂度是$$O(n}2)$$

for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
  for(int j = 1 ; j <= n ; j ++){
    //打印语句的执行次数n * n次。
    System.out.print(j + " x " + i + "=" + (i * j));
  }
}

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3.4 打印正三角的99乘法表

正三角形状的99表格打印语句的执行次数为：

[1 + 2 + 3 + ... + n = (n + 1) dfrac{n}{2} = dfrac{n^2}{2} + dfrac{n}{2} ]

去掉系数部分和低阶部分，时间复杂度为仍然为$$O(n^2)$$

for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
  for(int j = 1 ; j <= i ; j ++){
    //打印语句的执行次数n * n次。
    System.out.print(j + " x " + i + "=" + (i * j));
  }
}

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3.5 冒泡排序

冒泡排序是经典的排序算法是每次比较相邻的两个元素进行对调，进行多轮，直到数列有序。

对于5个元素的冒泡排序来说，共需要比较4 + 3 + 2 + 1次比较。因此时间复杂度为：

[n - 1 + n - 2 + ... 1 = dfrac{(n-1)}{2}n = dfrac{n^2}{2} - dfrac{n}{2} ]

因此时间复杂度为：$$O(n^2)$$，这是冒泡排序最坏的情况下的时间复杂度。

int[] arr = ... ;
//外层比较n-1次
for(int i = 0 ; i < arr.length - 1 ; i ++){
  //比较n-1-i次
  for(int j = 0 ; j < arr.length -1 - i ; j ++){
    int temp = arr[j] ;
    if(arr[j] > arr[j + 1]){
      arr[j] = arr[j + 1] ;
      arr[j + 1] = temp ;
    }
  }
}

冒泡排序可以进行优化，在最好的情况下，复杂度为O(n)，思路如下：

设置标志位flag=1，表示整个数列已经有序，就不需要再排序了，在里层循环中，如果发现没有进行过数据交换，就说明数列已经有序。

在最好情况下，就是数列本身已经有序，只需要执行外层的n-1次循环即可，因此复杂度为O(n)。

int[] arr = ... ;
//外层比较n-1次
for(int i = 0 ; i < arr.length - 1 ; i ++){
  boolean flag = true ;
  //比较n-1-i次
  for(int j = 0 ; j < arr.length -1 - i ; j ++){
    int temp = arr[j] ;
    if(arr[j] > arr[j + 1]){
      //发生交换，就设置标志位为false，即数列无序。
      flag = false ;
      arr[j] = arr[j + 1] ;
      arr[j + 1] = temp ;
    }
  }
  //判断如果是数列有序，则终止循环。
  if(flag){
    break ;
  }
}

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3.6 折半查找

折半查找也叫二分查找，是高效的查找方式，前提条件是数列需要时有序数列。图例如下：

代码如下：

//有序数组
int[] arr = ... ;
int min = arr[0] ;
int max = arr[0] ;
int mid = arr[arr.length/2] ;
//目标元素
int targ = 3 ;

for(int min = 0 , max = arr.length - 1 ; min <= max  ; ){
  int mid = (min + max) / 2 ;
  //命中了
  if(arr[mid] == targ){
    return mid ;
  }
  //落在右侧范围
  else if(arr[mid] < targ){
    min = mid + 1 ;
  }
  //落在左侧范围
  else{
    max = mid - 1 ;
  } 
}

折半查找的最坏时间复杂度为：以2为底，n的对数。

[O(log_2 n ) ]

3.7 hashmap

哈希map是java中最重要的集合之一，设计非常巧妙，使用通过数组+链表方式组合实现，哈希的目的是让对象在空间内尽可能分散。那么HashMap的时间复杂度是多少呢？

如果hashmap的每个桶内的元素个数最多不会超过一个常数C，当增加元素时，不断增加桶的数量，而保证每个桶内的元素量固定，因此就可以保证最快的查询速度，则时间复杂度就是$$O(C*n^2)$$，去掉系数部分就是

[ O(n^0) = O(1) ]

如果在最坏的情况下就是所有元素进入同一个桶，导致给桶内的链条非常长，则检索数据时，时间复杂度为：

[ O(n) ]

3.8 矩阵的乘积

矩阵我们按照阶数为n的两个方阵进行计算，矩阵的乘法运算法则为：

[left| egin{matrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} end{matrix} ight| * left| egin{matrix} b_{11} & b_{12} \ b_{21} & b_{22} end{matrix} ight| = left| egin{matrix} a_{11} * b_{11}+a_{12} *b_{21} &a_{11} * b_{12}+a_{12} *b_{22} \ a_{21} * b_{11}+a_{22} *b_{21} &a_{21} * b_{12}+a_{22} *b_{22} end{matrix} ight| ]

例如：

[left| egin{matrix} 0 & 1 \ 1 & 1 \ end{matrix} ight| * left| egin{matrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ end{matrix} ight| = left| egin{matrix} 0*1+1*3 & 0*2+1*4 \ 1*1+1*3 & 1*2+1*4 \ end{matrix} ight| = left| egin{matrix} 3 &4 \ 4 & 6 \ end{matrix} ight| ]

方阵乘法的代码如下：

//方阵使用二位数组表示
int[][] a = ... ;
int[][] b = ... ;
//结果矩阵
int[][] r = ... ;
//[思路]
//从结果矩阵出发，结果矩阵也是一个阶数为n的方阵，但是每个对应的元素
//循环n次计算累加和得到。     
//循环行数
for(int i = 0 ; i < a.length ; i ++){
  //循环列的个数，这里仍然是m.length是因为方阵
  for(int j = 0 ; j < b.length ; j ++){
    for(int k = 0 ; k < a.length ; k ++){
      r[i][j] = r[i][j] + a[i][k] * b[k][j] ; 
    }
  }
}

方阵的矩阵乘法的计算次数为$$n^{3$$，因此时间复杂度为$$O(n}3)$$。