Codeforces Round #585 (Div. 2)
D. Ticket Game
Description
给定一个长度为(n)的数字串((n)为偶数)，其中有一些位置的值被删除了用(?)表示，有两个人要在这个上面玩一个游戏。这两个人会轮流把串中的问号替换成一个数字(in [0, 9])，如果最后前一半所有数位的和等于后一半所有数位的和，那么后手赢，否则先手赢。现在给定这个带(?)的数字串，你需要求出谁最后会赢
(2 leq n leq 2 imes 10^5)
Solution
我们可以先考虑只有一边有(?)的情况，设(?)的数量为(C)((C)为偶数)，有(?)的那边比另一边的权值和少(d)，
- (Case_1)，如果(d = frac{C}{2} imes 9)，先手放(x)，后手就放(9-x)，后手赢
- (Case_2)，如果(d > frac{C}{2} imes 9)，先手就一直放(0)，不论后手怎么放，(d)总是大于(0)，先手赢
- (Case_3)，如果(d < frac{C}{2} imes 9)，先手就一直放(9)，不论后手怎么放，(d)最后会小于(0)，先手赢
现在我们再考虑一下两边都有括号的情况，我们假设左边的(?)较多，左边的权值和比右边的少(d)，括号数量的差为(C)
- 如果(d = frac{C}{2} imes 9)，那么不论先手怎么放，后手就可以对称的去放，然后转化为(Case_1)
- 如果(d > frac{C}{2} imes 9)，先手就可以在右边放一个(9)，以此来转换先后手，然后再按照对手的操作对称去放。最后只有左边有奇数个(?)的时候，(d > frac{C}{2} imes 9 + 9)。等对手放完之后，就转化为了(Case_2)
- 如果(d < frac{C}{2} imes 9)，先手就可以在右边放一个(0)，以此来转换先后手，然后再按照对手的操作对称去放。最后只有左边有奇数个(?)的时候，(d < frac{C}{2} imes 9)。等对手放完之后，就转化为了(Case_3)
所以我们就只需要知道(C, d)，就可以确定胜负了
(Solution)思路来源：mohamedeltair
E. Marbles
Description
给定一个长度为(n)的数列(a_i)，你可以花费(1)的代价交换相邻的两个元素。现在你要使得每种权值的下标连续，问最小需要多少花费
(2 leq n leq 4 imes 10^5, 1 leq a_i leq 20)
Solution
我们可以先处理出任意一种权值考虑对于任意一个其它权值的集合，如果要把所有这种权值的数都移到最左边需要的代价。然后我们就可以设(dp[s])表示把(s)集合中的权值都处理完后(移动到最左边)所需要的最少代价，然后我们就每次枚举一种没有处理的权值转移就可以了
F. Radio Stations
Description
有(p)个信号站，每一个信号站只有在总站发出的功率在([l_i, r_i])时才能正常工作，现在有(n)个形如(x_i)号信号站和(y_i)至少要有一个正常工作的限制，有(m)个形如(x_i)号信号站和(y_i)不能同时正常工作的限制
总站能发出的功率(f)的范围是(in [1, M])，你现在需要确定总站发出的功率以及哪些信号站工作，使其满足给定的所有限制
(2 leq n, p, M, m leq 4 imes 10^5)
Solution
我们可以发现如果没有功率的限制，那就是一道(2-SAT)的模板题，现在我们考虑怎么解决功率的限制
我们可以考虑对于每一种功率都建一种变量，第(i)个点表示(f geq i)，其逆否命题表示(f < i)。我们对于(f geq i)向(f geq i - 1)连边，因为如果(f)满足前者，显然就会满足后者。同理，我们对于(f < i)向(f < i + 1)连边。然后我们可以把信号站对于功率的限制转化为下面两个限制：(f geq l_i)和不选(i)至少有一个成立，(f < r_i + 1)和不选(i)至少有(1)个成立。然后就直接跑(2-SAT)，随便跑出一组解就可以了
Summary
这场也只能算是打得一般，(E)题就是一道思博题，还想了半个多小时...
以后打的时候一定要注意做题速度，因为(Div2)有很多手速场。比如说这场，从第(4)名到差不多(200)名都是(A)了(5)题，就是看谁的手速快