寻找总和为n的连续子数列之算法分析

看到有这么道算法题在博客园讨论，算法eaglet和邀月都已经设计出来了，花了点时间读了下，学到点东西顺便记录下来吧。

题目是从1...n的数列中，找出总和为n的连续子数列。

这里先设好算法中需要用到的关键变量：

• s：目标子数列的第一个元素
• k：目标子数列的长度

那么目标子数列可以表示为(s, k)

1. naive算法(n^2)

最笨的，但是最容易的想到的方法，就是穷举所有的子数列：

for s = 1 to n
    for k = 1 to n-s+1
        if sum(s, k) == n

output(s, k)

复杂度为：n + (n-1) + (n-2) + (n-3).... = n(n-1)/2

所以，其复杂度是O(n^2)

2. 用二分法改进的naive算法 (nlog2n)

我们需要充分利用输入的特性，这里，原始数列的一个很明显的特点就是有序，而利用有序数列提高效率的最常用方法就是二分法。这里我们可以注意到，针对某个子数列起始点s，我们没有必要逐个长度的去求和判断，而是利用其有序的性质，先求(s, (n+s)/2)的和。如果等于n则输出，如果大于n，则数列结尾在前半段，否则在后半段：

for s = 1 to n
　　low = s
　　high = n
　　while low < high
　　　　mid = (low + high)/2
　　　　sum = sum(s, mid)
　　　　if sum == n 
          output(s, mid)
　　　　else if(sum > n) 
          high = mid
　　　　else 
          low = mid

很明显，此算法复杂度为O(nlog2n)

3. 利用规律s*k <= n而设计的算法 (nlnn)

我们知道，s是目标子数列的第一个元素，也是最小的元素，所以必然有sum(s,k) >= s*k， 也就是n>=s*k, 也就是k <= n/s，于是算法可以写成：

for s = 1 to n
　　for k =  1 to n/s
　　　　if sum(s, k) == n
          output(s, k);

此处，其复杂度并不是显而易见，但稍加分析：

复杂度 = n + n/2 + n/3 + n/4 + ... + n/n = n (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .. + 1/n)，可以注意到，括号中的部分是一个调和级数，其和为lnn。

于是，此算法的复杂度为 O(nlnn)，比算法2稍佳，因为lnn的底数要稍大些。

4. 利用规律s*k = n-k(k-1)/2而设计的算法(sqrt(n))

我们知道，对于子数列求和，其公式为：

n = k(s+ (s+k-1))/2 = s*k + k(k-1)/2

得出：

s*k = n - k(k-1)/2

由这个公式我们可以得到两点信息：

• 1*k <= s*k = n-k(k-1)/2，推出n-k(k-1)/2 >= k
• 如果n-k(k-1)/2能够整除k，则k是目标子数列的长度，而起始点可以由公式算出：s = (n-k(k-1)/2)/k

于是，算法就可以以k为变量递增，以n-k(k-1)/2 >= k为限制条件：

k = 1
v = n-k(k-1)/2
while v >= k
　　if v % k == 0
       output(v/k, k) // 如果能整除，则找到解，并且起始点为v/k
　　k++
　　v = n-k(k-1)/2

分析复杂度，我们只需关注k的变化，k是从1递增到某个数结束，关键是如何求这个截止的k。

我们的循环结束条件是：

n-k(k-1)/2 >= k

化简得到：

k^2 + k <= 2n

k^2 <=  2n - k

因为k > 0，于是有

k^2 < 2n

k < sqrt(2n)

所以，这个截止的k就应该是sqrt(2n)或者略小于它

到这里，就不难看出其算法复杂度为O(sqrt(n)) - 略去常数因子和低阶函数