题目背景
uim神犇拿到了uoi的ra（镭牌）后，立刻拉着基友小A到了一家……餐馆，很低端的那种。
uim指着墙上的价目表（太低级了没有菜单），说：“随便点”。
题目描述
不过uim由于买了一些辅（e）辅（ro）书，口袋里只剩MM元(M le 10000)(M≤10000)。
餐馆虽低端，但是菜品种类不少，有NN种(N le 100)(N≤100)，第ii种卖a_iai元(a_i le 1000)(ai≤1000)。由于是很低端的餐馆，所以每种菜只有一份。
小A奉行“不把钱吃光不罢休”，所以他点单一定刚好吧uim身上所有钱花完。他想知道有多少种点菜方法。
由于小A肚子太饿，所以最多只能等待11秒。
输入格式
第一行是两个数字，表示NN和MM。
第二行起NN个正数a_iai（可以有相同的数字，每个数字均在10001000以内）。
输出格式
一个正整数，表示点菜方案数，保证答案的范围在intint之内。
输入输出样例
输入 #1
4 4 1 1 2 2
输出 #1
3
代码：（递归实现）
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define MAXN 110 4 int n, m, ans = 0; 5 int price[MAXN]; 6 void dfs(int now,int left) { 7 if (now == n + 1) { 8 return; 9 } 10 if (price[now] <= left) { 11 if (price[now] == left) { 12 ans++; 13 } 14 dfs(now + 1, left - price[now]); 15 dfs(now + 1, left); 16 } 17 else { 18 dfs(now + 1, left); 19 } 20 } 21 int main() { 22 cin >> n >> m; 23 for (int i = 1; i <= n; i++) { 24 scanf("%d", &price[i]); 25 } 26 dfs(1, m); 27 printf("%d", ans); 28 return 0; 29 }
动态规划:
背包问题，dp数组结果是方案数，不妨设dp[i][j]为前i道菜正好花费j元的方案数
思考当前的方案数（状态）由哪些方案（子状态）转移过来（求递推式的过程）
1：购买第i种菜品，这种情况下前i-1种菜品需要正好花费j-a[i]元钱，即 dp[i][j]=dp[i-1][j-a[i]]
2:不购买当前菜品，这种情况下前i-1种菜品需要正好花费j元钱，即 dp[i][j]=dp[i-1][j]
3：特殊情况：a[i]==j时，第i种菜品直接花掉j元这一种方案 + 前i-1种菜品花掉j元的方案数，即dp[i][j]=dp[i-1][j]+1
初始化条件：dp数组初始化为0
代码：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define MAXN 110 4 int n, m, ans = 0; 5 int dp[MAXN][10000]; 6 //dp[i][j]:前i种菜品正好花完j块钱时的全部方案数 7 int a[MAXN]; 8 int main() { 9 cin >> n >> m; 10 for (int i = 1; i <= n; i++) { 11 cin >> a[i]; 12 } 13 for (int i = 1; i <= n; i++) { 14 for (int j = 1; j <= m; j++) { 15 //分情况讨论: 16 if (a[i] == j) { 17 dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1; 18 } 19 if (a[i] > j) { 20 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 21 } 22 if (a[i] < j) { 23 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - a[i]]; 24 } 25 } 26 } 27 cout << dp[n][m]; 28 return 0; 29 }
总结：
初学动态规划，要理解递归过程与递推过程，递归过程实际上是拆分子问题的过程，如n到n-1的过程，而递推过程是由已知子问题求解父问题的过程。
动态规划的的四个解题步骤是：
- 定义子问题
- 写出子问题的递推关系
- 确定 DP 数组的计算顺序
- 空间优化（可选）
可参考博客：(31条消息) 图解动态规划的解题四步骤_java牛牛的博客-CSDN博客_动态规划的四个步骤