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描述
给定一个整数,编写一个函数来判断它是否是 2 的幂次方。
示例 1:
输入: 1
输出: true
解释: 2^0 = 1
示例 2:
输入: 16
输出: true
解释: 2^4 = 16
示例 3:
输入: 218
输出: false
解法 1:判断整数 (x) 的二进制表示中是否只有一位为1
实现方式 1:除以 2
让我们先来看一下 2 的幂有什么规律,
n | 2 的幂 | 二进制表示 |
---|---|---|
0 | (2^0 = 1) | 0000 0001 |
1 | (2^1 = 2) | 0000 0010 |
2 | (2^2 = 4) | 0000 0100 |
3 | (2^3 = 8) | 0000 1000 |
... | ... | ... |
从上面可以看出,如果整数 (x) 是 2 的幂,将整数不断除以 2,除了 1 之外,其余的约数一定能被 2 整除。按照这样的想法,我们就能写出**解法 1 **的第一种实现。
Java 实现(非递归)
class Solution {
public boolean isPowerOfTwo(int x) {
if (x <= 0) {
return false;
}
while (x % 2 == 0) {
x /= 2;
}
return x == 1;
}
}
Python 实现(非递归)
class Solution:
def isPowerOfTwo(self, x):
"""
:type n: int
:rtype: bool
"""
if x <= 0:
return False
while x % 2 == 0:
x = x // 2
return x == 1
Java 实现(递归)
class Solution {
public boolean isPowerOfTwo(int x) {
return x > 0 && (x == 1 || (x % 2 == 0 && isPowerOfTwo(x / 2)));
}
}
Python 实现(递归)
class Solution:
def isPowerOfTwo(self, x):
"""
:type n: int
:rtype: bool
"""
return x > 0 and (x == 1 or (x % 2 == 0 and self.isPowerOfTwo(x // 2)))
复杂度分析
- 时间复杂度:两种实现(递归和非递归)的时间复杂度都是 (O(log(x))) 的,其中 (x) 表示该整数
- 空间复杂度:非递归实现的空间复杂度是 (O(1)) 的,而递归实现的空间复杂度是 (O(log(x))),因此递归实现占用系统栈的空间,递归的深度最多为 (log(x))
实现方式 2:位运算
对于实现方式 1,如果用二进制的角度看,就是判断整数的二进制表示的最右边一位是否为 1,如果为 1,则将该整数与 1 进行比较从而得到结果;如果不为 1,则将整数 (x) 右移一位(最高位补 0)。因此,我们就会想,是否有一种方式可以直接通过位运算就能达到目的,答案是肯定的。
让我们再来看看下面的表格有什么规律,
(2^n) | (2^n) 的二进制表示 | (2^n - 1) 的二进制表示 |
---|---|---|
1 | 0000 0001 |
0000 0000 |
2 | 0000 0010 |
0000 0001 |
4 | 0000 0100 |
0000 0011 |
8 | 0000 1000 |
0000 0111 |
... | ... | ... |
从表格中可以看出,如果整数 (x) 是 2 的幂的话,整数 (x) 与 (x - 1) 的二进制表示进行与运算,结果为 0,因此我们就可以写出解法 1 的第二种实现方式。
Java 实现
class Solution {
public boolean isPowerOfTwo(int x) {
return x > 0 && ((x & (x - 1)) == 0);
}
}
Python 实现
class Solution:
def isPowerOfTwo(self, x):
"""
:type n: int
:rtype: bool
"""
return x > 0 and (x & x - 1 == 0)
复杂度分析
- 时间复杂度:(O(1))
- 空间复杂度:(O(1))