CF1654G Snowy Mountain

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1654G

有点厉害的题。

首先 \(h_i\) 可以通过 bfs 求出来。考虑最优方案是什么，一定是从当前的 \(x\) 的跳到最低的 \(y\)，然后 \(y\) 的能操作 2。

先理理有什么性质：

1. 倘若一个点 \(x\) 的高度是 \(h_x\)，那么一定能操作一 \(h_x\) 次，即走这条链。

2. 相邻的节点的高度差不超过 1。

3. 倘若两个相邻的节点的高度相等，那么一定两个节点的两端一定有 2 条不相交的长度相等的链直到黑色节点。

下文中把相邻高度相等的节点叫做特殊点（即能操作 2 的）。

那么，如何处理出每个节点能到达的高度最小的特殊点呢？考虑暴力，从小到大枚举高度，看看是否有这个高度的特殊点，然后从这些点出发，令 \(a[x]\) 为 \(x\) 点到当前高度的特殊点中的最小所需储备能量。即想要从 \(x\) 点跳到特殊点在跳到 \(x\) 的时候至少要 \(a_x\) 的能量。显然特殊点都是 0，考虑类 bfs 转移。

1. \(h_x=h_y\)，说明中间只能操作 2 到达，那么 y 的能量储备要更多。

2. \(h_x<h_y\)，说明 \(y\) 可以通过 \((x,y)\) 多出 1 点能量，那么 \(a[y]=a[x]-1\)。

需要注意的是，任何时候都要满足 \(a\ge 0\)，才能使得没有错误的转移（在相等时转移会出锅）。

分析到这里，会发现这个暴力应该是对的。

我们只要考虑所有特殊点的种类即可。

考虑构造点被特殊点两端的链覆盖尽可能多的次数，发现好像只能构造到

这个样子，其中最多 \(O(n)\) 个点被多覆盖到了 1 次，其他点都是只有 \(1\) 次覆盖的。也就是说 \(\sum_\limits{x是特殊点} h_x\) 的级别是 \(O(n)\) 的，那么种类是 \(O(\sqrt{n})\) 级别的，考虑只在 \([1,\sqrt{n}]\) 出现。

做完了。

#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=(int)(2e5+5),inf=(int)(2e9);
queue<int>q;
vector<int>g[N],vec[N];
bool vis[N];
int n,h[N],mi[N],a[N];
signed main() {
	cin.tie(0); ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n; memset(h,0x3f,sizeof(h));
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int x; cin>>x; if(x) h[i]=0;
	}
	for(int i=1;i<n;i++) {
		int x,y; cin>>x>>y;
		g[x].pb(y); g[y].pb(x);
	}
//	for(int i=1;i<=n;i++) {
//		cout<<h[i]<<endl;
//	}
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!h[i]) q.push(i);
	while(!q.empty()) { //纯正 bfs，是吧 
		int x=q.front(); q.pop();
		for(int y:g[x]) {
			if(h[y]>h[x]+1) {
				h[y]=h[x]+1; q.push(y);
			}
		}
	}
//	for(int i=1;i<=n;i++) {
//		cout<<h[i]<<endl;
//	}
	for(int i=0;i<=n;i++) {
		bool fl=0;
		for(int y:g[i]) {
			if(h[y]==h[i]) {
				fl=1;
			}
		}
		if(fl) vis[h[i]]=1,vec[h[i]].pb(i);
	}
	memset(mi,0x3f,sizeof(mi));
	for(int i=0;i<=n;i++) {
		if(!vis[i]) continue ;
//		cout<<i<<endl;
		for(int j=1;j<=n;j++) a[j]=inf;
		for(int x:vec[i]) a[x]=0,mi[x]=min(mi[x],i),q.push(x);
		while(!q.empty()) {
			int x=q.front(); q.pop();
			for(int y:g[x]) {
				if(h[y]==h[x]&&a[y]>a[x]+1) {
					a[y]=a[x]+1; q.push(y);
				} else if(h[y]>h[x]&&a[y]>a[x]-1) {
					a[y]=max(0,a[x]-1); q.push(y);
				}
			}
		}
		for(int j=1;j<=n;j++) if(a[j]<=0) mi[j]=min(mi[j],i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(!h[i]) cout<<"0 ";
		else if(mi[i]>0x3f3f3f) cout<<h[i]<<' ';
		else cout<<2*h[i]-mi[i]<<' ';
	}
//	cout<<'\n';
//	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<mi[i]<<' ';
	return 0;
}

/*
好难
题解都看不懂，只能自己写了
/yun
明天一模了，what should I do? 
*/