第三十一篇玩转数据结构——并查集（Union Find）

1.. 并查集的应用场景

查看"网络"中节点的连接状态，这里的网络是广义上的网络
数学中的集合类的实现

2.. 并查集所支持的操作

对于一组数据，并查集主要支持两种操作：合并两个数据、判断两个数据是否属于同一集合（两个数据是否连接）

3.. 定义并查集的接口

并查集的接口业务逻辑如下：

public interface UF {

    int getSize();

    boolean isConnected(int p, int q);

    void unionElements(int p, int q);

}

4.. 实现并查集

第一版并查集Quick Find，业务逻辑如下：

public class UnionFind1 implements UF {

    private int[] id;

    public UnionFind1(int size) {

        id = new int[size];
        for (int i = 0; i < id.length; i++) {
            id[i] = i;
        }
    }

    // 实现getSize方法
    @Override
    public int getSize() {
        return id.length;
    }

    private int find(int p) {

        if (p < 0 || p >= id.length) {
            throw new IllegalArgumentException("p is out of bound.");
        }
        return id[p];
    }

    // 实现isConnected方法，查看元素p与元素q是否所属同一个集合
    @Override
    public boolean isConnected(int p, int q) {
        return id[p] == id[q];
    }

    // 实现unionElements方法，合并元素p和元素q所属集合
    @Override
    public void unionElements(int p, int q){

        int pID = find(p);
        int qID = find(q);

        if(pID == qID){
            return;
        }
        for(int i=0;i<id.length;i++){
            if(id[i]==pID){
                id[i] = qID;
            }
        }
    }
}

Quick FInd的时间复杂度分析
第二版并查集Quick Union，业务逻辑如下：

public class UnionFind2 implements UF {

    private int[] parent;

    public UnionFind2(int size) {

        parent = new int[size];
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            parent[i] = i;
        }
    }

    @Override
    public int getSize() {
        return parent.length;
    }

    private int find(int p) {

        if (p < 0 || p >= parent.length) {
            throw new IllegalArgumentException("p is out of bound.");
        }
        while (p != parent[p]) {
            p = parent[p];
        }
        return p;
    }

    // 实现isConnected方法，判断元素p与元素q是否同属一个集合
    @Override
    public boolean isConnected(int p, int q) {
        return parent[p] == parent[q];
    }

    // 实现unionElements方法，合并元素p和元素q所在集合
    @Override
    public void unionElements(int p, int q) {

        int pRoot = find(p);
        int qRoot = find(q);

        if (pRoot == qRoot) {
            return;
        }
        parent[pRoot] = qRoot;
    }
}

Quick Union的时间复杂度分析

isConnected     O(h)   其中，h为树的高度
unionElements   O(h)

测试Quick Find和Quick Union的性能
测试的业务逻辑如下：

import java.util.Random;

public class Main {

    private static double testUF(UF uf, int m) {

        int size = uf.getSize();
        Random random = new Random();
        long startTime = System.nanoTime();

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int a = random.nextInt(size);
            int b = random.nextInt(size);
            uf.unionElements(a, b);
        }

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int a = random.nextInt(size);
            int b = random.nextInt(size);
            uf.isConnected(a, b);
        }

        long endTime = System.nanoTime();
        return (endTime - startTime) / 1000000000.0;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int size = 100000;
        int m = 10000;

        UnionFind1 uf1 = new UnionFind1(size);
        double time1 = testUF(uf1, m);
        System.out.println("Quick Find, time: " + time1 + " s");

        UnionFind2 uf2 = new UnionFind2(size);
        double time2 = testUF(uf2, m);
        System.out.println("Quick Union, time: " + time2 + " s");
    }
}

输出结果：

Quick Find, time: 0.272248873 s
Quick Union, time: 0.001273318 s

5.. Quick Union的优化

对unionElements方法进行优化，使元素少的节点指向元素多的节点
优化后的业务逻辑如下：

public class UnionFind3 implements UF {

    private int[] parent;
    private int[] sz;

    public UnionFind3(int size) {

        parent = new int[size];
        sz = new int[size];

        for (int i = 0; i < size; i++) {
            parent[i] = i;
            sz[i] = 1;
        }
    }

    @Override
    public int getSize() {
        return parent.length;
    }

    private int find(int p) {

        if (p < 0 || p >= parent.length) {
            throw new IllegalArgumentException("p is out of bound.");
        }
        while (p != parent[p]) {
            p = parent[p];
        }
        return p;
    }

    // 实现isConnected方法，判断元素p与元素q是否同属一个集合
    @Override
    public boolean isConnected(int p, int q) {
        return parent[p] == parent[q];
    }

    // 实现unionElements方法，合并元素p和元素q所在集合
    @Override
    public void unionElements(int p, int q) {

        int pRoot = find(p);
        int qRoot = find(q);

        if (pRoot == qRoot) {
            return;
        }
        if (sz[pRoot] < sz[qRoot]) {
            parent[pRoot] = qRoot;
            sz[qRoot] += sz[pRoot];
        }else{
            parent[qRoot] = pRoot;
            sz[pRoot]+=sz[qRoot];
        }
    }
}

对unionElements方法进行优化，使深度浅节点指向深度更深的节点
优化后的业务逻辑如下：

public class UnionFind4 implements UF {

    private int[] parent;
    private int[] rank;

    public UnionFind4(int size) {

        parent = new int[size];
        rank = new int[size];

        for (int i = 0; i < size; i++) {
            parent[i] = i;
            rank[i] = 1;
        }
    }

    @Override
    public int getSize() {
        return parent.length;
    }

    private int find(int p) {

        if (p < 0 || p >= parent.length) {
            throw new IllegalArgumentException("p is out of bound.");
        }
        while (p != parent[p]) {
            p = parent[p];
        }
        return p;
    }

    // 实现isConnected方法，判断元素p与元素q是否同属一个集合
    @Override
    public boolean isConnected(int p, int q) {
        return parent[p] == parent[q];
    }

    // 实现unionElements方法，合并元素p和元素q所在集合
    @Override
    public void unionElements(int p, int q) {

        int pRoot = find(p);
        int qRoot = find(q);

        if (pRoot == qRoot) {
            return;
        }
        if (rank[pRoot] < rank[qRoot]) {
            parent[pRoot] = qRoot;
        } else if (rank[qRoot] < rank[pRoot]) {
            parent[qRoot] = pRoot;
        } else {
            parent[pRoot] = qRoot;
            rank[qRoot] += 1;
        }
    }
}

对find方法进行优化，实现简单路径压缩（非递归实现）
优化后业务逻辑如下

public class UnionFind5 implements UF {

    private int[] parent;
    private int[] rank;

    public UnionFind5(int size) {

        parent = new int[size];
        rank = new int[size];

        for (int i = 0; i < size; i++) {
            parent[i] = i;
            rank[i] = 1;
        }
    }

    @Override
    public int getSize() {
        return parent.length;
    }

    private int find(int p) {

        if (p < 0 || p >= parent.length) {
            throw new IllegalArgumentException("p is out of bound.");
        }
        while (p != parent[p]) {
            parent[p] = parent[parent[p]];         //   优化了这里
            p = parent[p];
        }
        return p;
    }

    // 实现isConnected方法，判断元素p与元素q是否同属一个集合
    @Override
    public boolean isConnected(int p, int q) {
        return parent[p] == parent[q];
    }

    // 实现unionElements方法，合并元素p和元素q所在集合
    @Override
    public void unionElements(int p, int q) {

        int pRoot = find(p);
        int qRoot = find(q);

        if (pRoot == qRoot) {
            return;
        }
        if (rank[pRoot] < rank[qRoot]) {
            parent[pRoot] = qRoot;
        } else if (rank[qRoot] < rank[pRoot]) {
            parent[qRoot] = pRoot;
        } else {
            parent[pRoot] = qRoot;
            rank[qRoot] += 1;
        }
    }
}

再次优化find方法，实现终极路径压缩（递归实现）

public class UnionFind6 implements UF {

    private int[] parent;
    private int[] rank;

    public UnionFind6(int size) {

        parent = new int[size];
        rank = new int[size];

        for (int i = 0; i < size; i++) {
            parent[i] = i;
            rank[i] = 1;
        }
    }

    @Override
    public int getSize() {
        return parent.length;
    }

    private int find(int p) {

        if (p < 0 || p >= parent.length) {
            throw new IllegalArgumentException("p is out of bound.");
        }
        if (p != parent[p]) {
            parent[p] = find(parent[p]);        //   优化了这里
        }
        return parent[p];
    }

    // 实现isConnected方法，判断元素p与元素q是否同属一个集合
    @Override
    public boolean isConnected(int p, int q) {
        return parent[p] == parent[q];
    }

    // 实现unionElements方法，合并元素p和元素q所在集合
    @Override
    public void unionElements(int p, int q) {

        int pRoot = find(p);
        int qRoot = find(q);

        if (pRoot == qRoot) {
            return;
        }
        if (rank[pRoot] < rank[qRoot]) {
            parent[pRoot] = qRoot;
        } else if (rank[qRoot] < rank[pRoot]) {
            parent[qRoot] = pRoot;
        } else {
            parent[pRoot] = qRoot;
            rank[qRoot] += 1;
        }
    }
}

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