蓝桥杯 传纸条(动态规划)

问题描述

　　小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
　　在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
　　还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

　　输入第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。
　　接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出

34

数据规模和约定

　　30%的数据满足：1<=m,n<=10
　　100%的数据满足：1<=m,n<=50

题目传送:传纸条

算法分析:本题要求一条从(1,1)到(m,n)，再从(m,n)到(1,1)的路径,我们可以看做是求(1,1)到(m,n)两条不同的最短路径,这两条路径只能向下或向右且不相交，计算出这两条路径的权值和的最大值即可。

两个人走，利用四维的数组 dp[i][j][k][l] 来保存路径中间过程的权值之和的最大值，其中 i j k l 分别表示两个人的位置,很容易想出状态转移方程:

为了方便表示,我们令 max  =max{dp[i-1][j][k-1][l], dp[i-1][j][k][l-1],dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]};即为两个人向下走或者想右走得到的最大权值,则

dp[i][j][k][l]= max+map[i][j]+map[k][l]; 但是要注意如果有一个人走到了另一个人走到的位置(也就是i==k && j==l的时候),只能加一次权值也就是dp[i][j][k][l]= max+map[i][j];

下面贴出AC代码

代码实现

import java.util.Scanner;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(),m = sc.nextInt();
        int dp[][][][] = new int[55][55][55][55];
        int map[][] = new int[55][55];
        for (int i = 1; i <=n; i++) 
        for (int j = 1; j <=m; j++) 
            map[i][j]= sc.nextInt();
        for (int i = 1; i <=n; i++) {
            for (int j = 1; j <=m; j++) {
                for (int k = 1; k <=n; k++) {
                    int l=i+j-k;if(l<=0||l>m)continue;
                    dp[i][j][k][l]= Math.max(Math.max(dp[i-1][j][k-1][l], dp[i-1][j][k][l-1]), Math.max(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]));
　　　　　　　　　　　　//两个人走到了一起
                    if(i==k && j==l) dp[i][j][k][l]+= map[i][j]; 
                    else dp[i][j][k][l]+=map[i][j]+map[k][l];
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[n][m][n][m]);
    }
}