Iterative algo, Another View
Old View:
New View:
每次迭代都是状态映射，直到迭代到状态不变为止
如果令(X_i)为第i步的状态(（v^i_1, v^i_2, ..., v^i_n))，映射函数为(F: V^k->V^k)，则(X_{i+1}=F(x_i))。称满足(X=F(X))的状态X为F的不动点fixed point。
尝试回答以下问题：
- 算法是否能保证终止？是否总有解？
- 是否存在多解？如果存在多解，算法是否能收敛到最好的那个？
- 收敛所需的时间复杂度？
Partial Order
Upper and Lower Bounds
并不是全部偏序集poset都有最小上界或者最大下界，但如果有最小上界或者最大下界，对应的值一定是唯一的。
Lattice, Semilattice, Complete & Product
格
首先，肯定存在一个a∩b是{a,b}的下界，对满足z≤a和z≤b的任意z，应该有z≤a∩b，所以a∩b是最大下界。同理有最小上界。
http://math.hawaii.edu/~jb/math618/os2uh_17.pdf
示例：
半格
所以格是join+meet半格
完全格
注意格只要求一对元素组成的集合有lub和glb，完全格则要求任意子集都要有。思考的时候很容易把格要求成完全格，比如Example1
注意这里的lub和glb可以在格内而不在挑出来的集合内
完全格上有极大元和极小元。
Every finite lattice(P is finite) is a complete lattice
注意这里已经首先是个格，所以已经满足了一对元素都有lub和glb。当P有限的时候，这些lub和glb中一定分别有一个是最终的极大元和极小元。
注意极大元不一定是least upper bound。极小元也不一定是greatest lower bound
积格
格之积还是格，完全格之积还是完全格
Data Flow Analysis Framework via Lattice
以格的视角重新定义一遍Data Flow Analysis Framework
尝试回答以下问题：
- 算法是否能保证终止？是否总有解？
- 在之前的表达式有效性分析等例子中，因为状态总是更高，所以能够保证终止。
- 单调性
- 但是否总有解-总有不动点？
- 是否存在多解？如果存在多解，算法是否能收敛到最好的那个？
- 想到不动点定理，明显，在不动点这里算法会收敛
- 明显可能有多解
- 但能否收敛到最好的那个？
- 收敛所需的时间复杂度？
Monotonicity and fixed point Theorem
回答了是否有解的问题
回答了是否总能收敛到最好的结果
Relate Iterative Algo to Fixed Pointed Theorem
现在需要证明transfer function + join function这一套合起来是单调的函数
如果采用transfer function f(data) = (data - KILL) + GEN，并且KILL,GEN本身不随着当前节点的data变化，只与当前节点本身有关，那么transfer function无疑是单调的。
以join为例，此时应该是从最小元开始迭代，求least fixed point。那么只要证明join操作是单调递增的即可。
设x≤y，那么，对任意z属于同个lattice，明显y≤y∪z，而x≤y，所以x≤y∪z。又因为根据∪的定义，x∪z是x和z的least upper bound（虽然可以理解，但是感觉形式证明不够充分），而y∪z是upper bound，所以有x∪z≤y∪z。
最后一个问题：何时会收敛？
这里引入新概念：格的高度。明显，每次迭代格的高度都会递增/递减。所以，最大迭代次数等于格的高度加1.
注意每次迭代都要把全部nodes更新一遍，所以时间复杂度（#nodes * height)
May/Must Analysis, A lattice View
MOP and Distributivity
具体来说，Data flow analysis lattice框架最多能达到什么样的精度？
这里就必须首先引入一种meet框架：MOP: Meet-Over-All-Paths
和之前例子中的方法不同的是，MOP框架每个节点记录的具体数据是对全部Entry到当前节点的路径，取其transfer functions组合变换之后的结果来做meet。与之对比，之前的例子都直接在程序交汇点先做meet了。
比如之前的方案是F(x∪y）现在的就是F(x)∪F(y)，这里F是transfer functions组合。课件中称在交汇点先做meet的方法为Ours。
这就引出了一些问题：
- 程序点之间能否相互利用状态？还是可以的，程序点i可以利用程序点i-1的对全部Entry到当前节点的路径，取其transfer functions组合变换之后的结果状态来简化运算。
- 如何处理环？课件中认为是几乎做不到的。
此外，MOP框架还是存在有些路径实际上不可达，但是静态分析很难判断的问题，也就是说，还是会因为无效路径引入误差。
接下来证明，Ours方案比MOP方案更加不精确
不过，当F is distributive，即F(x∩y) = F(x)∩f(y)时，二者等价。
而Bit-Vector或者Gen/Kill的Meet操作恰好就是distributive的。
Constant Propagation
Nondistributivity的例子
问题：给定变量x和程序点p，确定x是否在p点一定是对应常量。
这里我以为像之前的表达式可达分析之类的一样以集合来做就行了，不过课件上并不是这种思路。这是因为当x同时有可能是两个常量，比如1和2时，x在p点对应非常量。由此，必须要记录所有变量的所有潜在状态。
接着我认为格应该只有undef, 变量，程序中出现的具体常量三类情况，这里课件定义了这样的一个格，引入undef和nac两种状态，分别作为最大元和最小元。
在交汇操作(meet)上，我认为对于两个具体常数，应有ca∩cb=NAC，课件满足判断。
在transfer function上，很明显还是可以加上当前定义的常量x，减去当前x的其他量。注意赋值函数可以将常数数值由一个变量传给另一个变量。
Q:为何f(y,z)有可能成为undef，难道不是只要定义了，就是常数或者nac？这里难道说y或者z有可能是undef么？那么程序本身就有可能不通过语法检查?
这个时候，先meet后meet的区别就体现出来了。
Worklist Algow Vi
就是加了当前需要更改的节点集合Worklist。
