题160910（14分）已知$f(x)$是定义在$(0,+infty)$上的单调函数，且对任意$x>0$，有$f(x)cdot fleft(f(x)+dfrac 1x ight)=1$，求$f(x)$．
解：由题意，有$fleft( f(x)+dfrac{1}{x} ight)cdot fleft( fleft( f(x)+dfrac{1}{x} ight)+dfrac{1}{f(x)+dfrac{1}{x}} ight)=1$，
又$f(x)cdot fleft( f(x)+dfrac{1}{x} ight)=1$，于是$fleft( fleft( f(x)+dfrac{1}{x} ight)+dfrac{1}{f(x)+dfrac{1}{x}} ight)=f(x)$．
由于$f(x)$是单调函数，因此$fleft( f(x)+dfrac{1}{x} ight)+dfrac{1}{f(x)+dfrac{1}{x}}=x$，
即$dfrac{1}{f(x)}+dfrac{1}{f(x)+dfrac{1}{x}}=x$，解得$f(x)=dfrac{1+sqrt{5}}{2x}$或$f(x)=dfrac{1-sqrt{5}}{2x}$．
经验证，这两个函数均符合题意，
这样就得到了所有符合题意的$f(x)$．