题160903设$alpha ,eta $均为锐角，满足
${{sin }^{2}}alpha +{{sin }^{2}}eta =sin (alpha +eta )$，
求$alpha +eta $的值．
试题来源：2016年北大全国优秀中学生暑期学堂
参考答案：$dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$
解：显然当$alpha +eta =dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$时，等式成立；
由已知条件知${{sin }^{2}}alpha +{{sin }^{2}}eta =sin alpha cos eta +cos alpha sin eta $，
整理得$sin alpha (sin alpha -cos eta )=sin eta (cos alpha -sin eta )$．
若$alpha +eta e dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$，则有$sin alpha -cos eta $与$cos alpha -sin eta $同号．
若它们同为正，则有$sin alpha >cos eta =sin left( dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-eta ight)$，$cos alpha =sin left( dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-alpha ight)>sin eta $，
从而有$alpha >dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-eta $，$dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-alpha >eta $，无解；
若它们同为负，用类似的方式也可以推导出矛盾．
综上，$alpha +eta =dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$．
法2：由${{sin }^{2}}alpha +{{sin }^{2}}eta =sin (alpha +eta )$，$sin left( alpha +eta ight)le 1$，得${{sin }^{2}}alpha le 1-{{sin }^{2}}eta ={{cos }^{2}}eta $，
因为$alpha ,eta $均为锐角，所以$sin alpha le cos eta $，同理$sin eta le cos alpha $，
故$sin left( alpha +eta ight)=sin alpha cos eta +cos alpha sin eta $$ge {{sin }^{2}}alpha +{{sin }^{2}}eta $，
当且仅当$sin alpha =cos eta =sin left( dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-eta ight)$，$sin eta =cos alpha =sin left( dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-alpha ight)$时取等，
因为$alpha ,eta ,dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-alpha ,dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-eta $均为锐角，所以$alpha +eta =dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$．
学生解答
BAM提供：正确
LST提供：正确
WQY提供：正确
FXY提供：正确
MJX提供：正确，解法巧妙
LZX提供：倒数2,3行有误
