成都市2014级“一诊”21题第2问的三种解法

---

---

已知函数(f(x)=xln(x+1)+(dfrac{1}{2}-a)x+2-a)，(ain extbf{R}.)

(II)当(ain extbf{Z})时，若存在(xgeqslant 0)，使不等式(f(x)<0)成立，求(a)的取值范围(.)

---

方法1：全分离(详见参考答案)

---

方法2：半分离(曲变直)

(exists xgeqslant 0,f(x)=xln(x+1)+(dfrac{1}{2}-a)x+2-a<0)

(Rightarrow exists xgeqslant 0,xln(x+1)+dfrac{1}{2}x+2<a(x+1))

令(g(x)=xln(x+1)+dfrac{1}{2}x+2)，则

(g'(x)=ln(x+1)+dfrac{x}{x+1}+dfrac{1}{2}=ln(x+1)-dfrac{1}{x+1}+dfrac{3}{2})

函数(g(x))在点(x=x_0)处的切线的斜率为(ln(x_0+1)-dfrac{1}{x_0+1}+dfrac{3}{2})

(Rightarrow)函数(g(x))在点(x=x_0)处的切线方程(y-(x_0ln(x_0+1)+dfrac{1}{2}x_0+2)=(ln(x_0+1)-dfrac{1}{x_0+1}+dfrac{3}{2})(x-x_0))与直线(y=a(x+1))重合，
(Rightarrow left{ egin{array}{ll} ln(x_0+1)+dfrac{x_0}{x_0+1}+frac{1}{2}=a \ x_0ln(x_0+1)+frac{1}{2}x_0+2=a(x_0+1) end{array} ight. Rightarrow left{ egin{array}{ll} a=4-(x_0+1)-frac{1}{x_0+1} \ ln(x_0+1)+x_0-frac{3}{2}=0Rightarrow 0<x_0<1 end{array} ight.)

(Rightarrow dfrac{3}{2}<4-(x_0+1)-frac{1}{x_0+1} <2)

综上可知，(a=2.)(图还未配)

---

方法3：不分离(低成本探究)

(f'(x)=ln(x+1)+dfrac{x}{x+1}+dfrac{1}{2}-a=ln(x+1)-dfrac{1}{x+1}+dfrac{3}{2}-a)

(Rightarrow f'(x))单调递增(Rightarrow f'(0)=dfrac{1}{2}-a)

(1^o)当(aleqslant dfrac{1}{2})时，(f'(x)geqslant f'(0)=dfrac{1}{2}-ageqslant 0Rightarrow f(x)_{min}=f(0)=2-a>0)，不合题意；

(2^o)当(a=1)时，(f'(x)=ln(x+1)-dfrac{1}{x+1}+dfrac{1}{2}Rightarrow f'(0)=-dfrac{1}{2}<0,f'(1)=ln 2>0)

(Rightarrow f'(x_0)=0Rightarrow 0<x_0<1Rightarrow left{ egin{array}{ll} ln(x_0+1)-dfrac{1}{x_0+1}+dfrac{1}{2}=0 \ f(x_0)=x_0ln(x_0+1)-frac{1}{2}x_0+dfrac{3}{2} end{array} ight.)

(Rightarrow f(x_0)=-frac{1}{x_0+1}-(x_0+1)+dfrac{7}{2}in (1,dfrac{3}{2}))，不合题意；

(3^o)当(a=2)时，(f(frac{1}{2})=dfrac{1}{2}lndfrac{3}{2}-dfrac{3}{4}<0)，合题意(.)

综上可知，(a=2.)

---