成都市2020-2021学年度高二(上)期末理科数学22题(2)的另类解法(点差法的哥哥与姐姐)

点$E$为$x$轴正半轴上的一点，过点$E$的直线交抛物线$C$：$y^2=4x$于$A$、$B$两点，$F$为$C$的焦点，

直线$AF$、$BF$分别与抛物线$C$交于异于$A$、$B$的$P$、$Q$两点.当直线$AB$，$PQ$的斜率都存在时，分别记为$k_{_1}$、$k_{_2}$.

若$k_{_2}=2k_{_1}$，求点$E$的坐标.

另类解法：

记(A(frac{y^2_{_A}}{4})，(y_{_A}))，(B(frac{y^2_{_B}}{4})，(y_{_B}))，(P(frac{y^2_{_P}}{4})，(y_{_P}))，(Q(frac{y^2_{_Q}}{4})，(y_{_Q}))，(E(t)，(0))，则

(A)，(F)，(P)三点共线(RightarrowcdotsRightarrow y_{_A}cdot y_{_p}=-4cdots(1))

(B)，(F)，(Q)三点共线(RightarrowcdotsRightarrow y_{_B}cdot y_{_Q}=-4cdots(2))

(A)，(E)，(B)三点共线(Rightarrowfrac{y_{_A}}{frac{y^2_{_A}}{4}-t}=frac{y_{_B}}{frac{y^2_{_B}}{4}-t}RightarrowcdotsRightarrow y_{_A}cdot y_{_B}=-4tcdots(3))

由(k_{_2}=2k_{_1}Rightarrow frac{y_{_P}-y_{_Q}}{frac{y^2_{_P}}{4}-frac{y^2_{_Q}}{4}}=2cdotfrac{y_{_A}-y_{_B}}{frac{y^2_{_A}}{4}-frac{y^2_{_B}}{4}}RightarrowcdotsRightarrow y_{_A}+y_{_B}=2(y_{_P}+y_{_Q})cdots(4))

由((1))和((2)(3)Rightarrow y_{_A}y_{_B}y_{_P}y_{_Q}=16Rightarrow y_{_P}y_{_Q}=frac{-4}{t}cdots(*))

由((1))和((2)Rightarrow y_{_A}+y_{_B}=-4(frac{1}{y_{_P}}+frac{1}{y_{_Q}})Rightarrow y_{_A}+y_{_B}=-4(frac{y_{_P}+y_{_Q}}{y_{_P}y_{_Q}})cdots( riangle))

由((4))和((*)( riangle))得(t=2)，即(E(2)，(0))