《剑指offer》面试题32----从1到n整数中1出现的次数

题目：输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1,10,11和12，1一共出现了5次。

解法一：不考虑时间效率的解法（略）

ps:我感觉是个程序员都能想到这第一种解法，时间复杂度O(nlogn)。这个方法没有什么意义，但是简单易懂，去小公司足够了，这里不讲了。

解法二：分析数字规律，时间复杂度O(logn).

这是我写这篇文章的初衷。《剑指offer》洋洋洒洒写了几十行代码，然而在leetcode上大神却只用了5行！当天晚上智障，脑子全是浆糊，竟然没有看懂什么意思=。=，我一度怀疑智商受到了碾压。然而在今天睡眠比较充足，头脑比较清醒的情况下终于理顺了思路~

其实这道题目很多地方都有讲，包括《编程之美》，但是也有20行左右的代码，没耐心了。其它的一些帖子讲的乱七八糟，这对于我这种爱简洁，爱干净，还有严重强迫症的人是不能忍的，下面强迫症患者要开始装逼了。。。

先上代码：

package test;

public class Question_32 {
    public static int countDigitOne(int n) {
        int ones = 0;
        for (long m = 1; m <= n; m *= 10)
            ones += (n/m + 8) / 10 * m + (n/m % 10 == 1 ? n%m + 1 : 0);
        return ones;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        System.out.println(countDigitOne(12));

    }

}

核心代码只有line4~line9。leetcode原链接： https://discuss.leetcode.com/topic/18054/4-lines-o-log-n-c-java-python 牛客网链接： https://www.nowcoder.com/questionTerminal/bd7f978302044eee894445e244c7eee6 。

装逼模式开启：

我们从一个5位的数字讲起，先考虑其百位为1的情况。分3种情况讨论：

百位数字>=2  example: 31256  当其百位为>=时，有以下这些情况满足(为方便起见，计312为a，56为b)：

    100 ~   199

  1100 ~  1199

        .....

 31100 ~ 31199

 余下的都不满足！

因此，百位>=2的5位数字，其百位为1的情况有（a/10+1）*100个数字   （a/10+1）=>对应于 0 ~ 31，且每一个数字，对应范围是100个数（末尾0-99）

百位数字 ==1 example: 31156 当其百位为1时，有以下这些情况满足：

     100 ~   199

   1100 ~  1199

          ......

  30100 ~ 30199

  31100 ~ 31156

因此，百位为1的5位数字，共有（a/10）*100+(b+1)

百位数字 ==0 example: 31056 当其百位为0时，有以下这些情况满足：

     100 ~   199

   1100 ~  1199

 30100 ~ 30199

  其余都不满足

因此，百位数为0的5位数字，共有(a/10)*100个数字满足要求

我们可以进一步统一以下表达方式，即当百位>=2或=0时，有[(a+8)/10]*100，当百位=1时，有[(a+8)/10]*100+(b+1)。用代码表示就是： [(a+8)/10]*100+(a%10==1)?(b+1):0；

为什么要加8呢？因为只有大于2的时候才会产生进位等价于（a/10+1），当等于0和1时就等价于(a/10)。另外，等于1时要单独加上(b+1)，这里我们用a对10取余是否等于1的方式判断该百位是否为1。

Question：有缺陷或逻辑错误吗？

有人可能会有疑惑，比如11100，这个数在考虑百位为1的时候算作了一次，在考虑千位的时候也算了一次，在考虑万位为1的时候又算了一次，一共计了3次，这不是明显重复吗？

我的回答是，不重复！

分析：题目中要我们统计出现的1的个数，那么我们可以看到11100一共是3个1,如果剔除了重复的情况只考虑一次才会是问题。换言之，在计算从1到n整数中1的出现次数时，我们把10位出现1的情况个数加上百位出现1的情况个数一直加到最高位是1的情况的个数，这里面一个数可能被统计过多次；11100百位出现1，千位和万位都为1，那么被重复统计了3次

代码分析：

public static int countDigitOne(int n) {
        int ones = 0;
        for (long m = 1; m <= n; m *= 10)
            ones += (n/m + 8) / 10 * m + (n/m % 10 == 1 ? n%m + 1 : 0);
        return ones;
    }

for (long m = 1; m <= n; m *= 10) 在这里的作用是，从个位开始考虑，再到十位，百位，千位，一直到超出这个数！为什么m要用long型呢？因为n可能没有超过整型的表达范围（int刚好可以表示n），而10*m恰恰有可能刚刚超过！ones += (n/m + 8) / 10 * m + (n/m % 10 == 1 ? n%m + 1 : 0); 这里ones用于表示1的个数，当m=100时，n/m其实代表的是a，而n%m代表的是b,此时考虑的是百位为1的情况；当m=1000，自然考虑的就是千位等于1的情况了~ 至于为什么加8，那个三目运算符是干嘛子用的上面都已经讲过了。

最后，总结一下。这道题网上答案太多了，但是我觉得只有这种方法最让人眼前一亮。抖机灵的不少，比如用java字符串处理的，自以为很厉害，其实根本没含金量（时间复杂度O(nlogn)啊！）关键是这还有赞同的，不知道算法分析是怎么学的。《剑指offer》和《编程之美》的答案可能曾经是最佳，但是现在被更好的方法替换了，而作者并不知情。一本好书看3遍，胜过3本好书看一遍！相信一个月后，我对这道题的印象可能就没有多少了，及时整理，利人利己，温故而知新~