AtCoder Regular Contest 104 题解

A - Plus Minus

题面

直接输出 (frac{x+y}{2}) 和 (frac{x-y}{2})。

B - DNA Sequence

题面

前缀和后暴力枚举区间。

C - Fair Elevator

题面

首先你要读懂题

设 (dp_i) 表示前 (i) 层楼是否满足条件。

考虑转移：枚举上一个区间包含的人数 (k)，如果 (i-2k+1sim i) 可以满足题目中给的条件，那么 dp[i] |= dp[i - 2 * k]。

如何判断满足条件？枚举楼层后分类讨论一下即可。

注意无解的判断。

代码

D - Multiset Mean

题面

一道神题。

首先，暴力 DP 是 (mathcal O(n^4k^2)) 的，显然过不去。

考虑转化题目条件，一个集合 (S) 中所有数平均数为 (x)， 即 (frac{sum a_i}{|S|}=x)，等价于 (sum (a_i-x) = 0)。

那么题目就转化为：(1sim n) 中每个数有 (k) 个，从中选出若干个数使得 (sum (a_i-x) = 0)。

然后发现每个数可以变成 (-(x-1),-(x-2),dots,-2,-1,0,1,2,dots,n-x)。

先不考虑 (0) 的存在，原问题即为从这些数中选出若干个，使得正数之和 (=) 负数之和。

考虑 DP，设 (dp_{i,j}) 表示仅考虑 (1sim i) 中的数，每个数有 (k) 个，选出若干个数和为 (j) 的方案数。

显然有 (dp_{i,j} = sumlimits_{l=0}^k dp_{i-1,j-l imes i})。

这样做依然会 TLE，考虑进一步优化。

首先不考虑限制，我们让 (dp_{i,j} = dp_{i-1,j} + dp_{i-1,j-i})。

这样做时，如果 (j < (k+1) imes i)，(dp_{i,j}) 的值不会出错；但当 (jge (k+1) imes i) 时，我们求出的 DP 值会偏大，它多加了 (sumlimits_{l=k+1} dp_{i-1,j-l imes i})。

发现后面那一坨式子就是 (dp_{i-1,j-(k+1) imes i})，直接倒序循环减去即可。

最后答案还要 ( imes k)，因为 (x) 选或不选都不会对答案有影响；还要记得 (-1)，因为我们统计了集合为空集的情况。

代码