• 题解【AcWing272】最长公共上升子序列


    题面

    一道线性 DP 好题。

    (dp_{i,j}) 表示在所有 (a_{1dots i})(b_{1dots j}) 的子序列中,以 (b_j) 结尾的最长公共上升子序列的最大长度。

    转移的时候考虑 (2) 种情况:

    • 若不选择 (a_i),则 (dp_{i,j}=dp_{i-1,j})
    • 若选择 (a_i),则 (dp_{i,j} = max_{1leq k leq j,b_k < b_j}{dp_{i-1,k}}+1)。又因为有 (a_i=b_j),所以 (dp_{i,j} = max_{1leq k leq j,b_k < a_i}{dp_{i-1,k}}+1)

    转移的代码:

    for (int i = 1; i <= n; i+=1)
        for (int j = 1; j <= n; j+=1)
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if (a[i] == b[j])
            {
                int maxdp = 0;
                for (int k = 1; k < j; k+=1)
                    if (b[k] < a[i])
                        maxdp = max(maxdp, dp[i - 1][k]);
                dp[i][j] = max(dp[i][j], maxdp + 1);
            }
        }
    

    这样转移的复杂度其实是 (O(n^3)) 的,明显会超时。

    于是我们考虑优化,即对转移的代码进行等价变形。

    我们发现,第三重循环能够转移的状态其实是所有 小于 (j)(k),且 (b_k < a_i)。因为 (a_i) 的值是不变的,所以我们可以预处理出所有 (dp_{i,k}(k<j)) 的最大值,即 (dp_{i,j}) 的前缀最大值。

    具体做法就是将变量 maxdp 移到第二层循环外,然后如果 (b_j < a_i) 就将 maxdp 与 (dp_{i,j})(max)

    完整代码:

    #include <bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    const int N = 3003;
    
    int n, m;
    int a[N], b[N], dp[N][N];
    
    int main()
    {
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i+=1)
            cin >> a[i];
        for (int i = 1; i <= n; i+=1)
            cin >> b[i];
        for (int i = 1; i <= n; i+=1)
        {
            int maxdp = 0;
            for (int j = 1; j <= n; j+=1)
            {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (a[i] == b[j]) dp[i][j] = max(dp[i][j], maxdp + 1); //转移
                if (b[j] < a[i]) maxdp = max(maxdp, dp[i][j]); //前缀最大值
            }
        }
        int ans = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i+=1) ans = max(ans, dp[n][i]);
        cout << ans << endl;
        return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/xsl19/p/12377114.html
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