1、图相关的专业术语
1)<v,w>:从v到w的一条弧,v表示弧尾,w表示弧头,有向弧。
2)(v,w):无向弧。
3)有向图:有向边的有限集合。
4)无向图:无向边的有限集合。
5)简单图:不存在重复边,不存在顶点到自身的边。
6)多重图:图中某两个结点之间的边数多余一条,又允许顶点通过同一条边和自己关联。
7)无向完全图:在无向图中,任意两个顶点之间都存在边。含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。
8)有向完全图:在有向图中,任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。含有n个顶点的有向完全图有n(n-1)条有向边。
9)生成子图:子图的顶点的集合和图的顶点集合相同。
10)连通图:无向图中任意两个顶点都是连通的。
11)连通分量:无向图中的极大连通子图。
12)强连通图:有向图中任意两个顶点都是强连通的,即从顶点v到顶点w以及从顶点v到顶点w之间都有路径。
13)强连通分量:有向图中的极大强连通子图。
14)连通图的生成树:包含图中全部顶点的一个极小连通子图。图中顶点数为n,则生成树含有n-1条边。对于生成树而言,少一条边则变成非连通图,加一条边则形成回路。
15)无向图的度:依附于该顶点的边的条数。无向图的全部顶点的度的和等于边数的2倍。
16)有向图的度:入度和出度之和。有向图的全部顶点的入度之和等于出度之和等于边数。
17)回路或环:第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。一个图有n个顶点,有大于n-1条边,则此图一定有环。
18)简单路径:顶点不重复出现的路径。
19)简单回路:除第一个顶点和最后一个顶点外,其余顶点不重复出现的回路。
20)有向树:一个顶点的入度为0,其余顶点的入度均为1的有向图。
21)关节点:在删去顶点v以及和v相关联的各边之后,将图的一个连通分量分割成两个或两个以上的连通分量,则顶点v为关节点(割点)。
22)重连通图:一个没有关节点的连通图。
2、图的存储
1)邻接矩阵法
(1)邻接矩阵存储:指用一个一维数组存储图中顶点信息,用一个二维数组存储图中边的信息,存储顶点之间邻接关系的二维数组称为邻接矩阵。
(2)邻接矩阵表示法的空间复杂度为O(n2),n为顶点数。
(3)特点:无向图的邻接矩阵是对称矩阵(并且唯一)。
对于无向图,邻接矩阵的第i行(或第i列)非零元素的个数正好是第i个顶点的度。
对于有向图,邻接矩阵的第i行(或第i列)非零元素的个数正好是第i个顶点的出度(或入度)。
稠密图使用邻接矩阵的存储表示。
(4)图的邻接矩阵存储结构
#define maxvertexnum 100
typedef struct {
char vex[maxvertexnum];
int edge[maxvertexnum][maxvertexnum];
int vexnum, arcnum;
}MGraph;
2)邻接表法
(1)邻接表:指对图中的每个顶点建立一个单链表。
第i个单链表中的结点表示依附于顶点的边(对于有向图则以顶点为尾的弧),这个单链表就称为顶点的边表(对于有向图则称为出边表)。
边表的头指针和顶点的数据信息采用顺序存储(称为顶点表)。
(2)邻接表中的结点:顶点表结点和边表结点。
顶点表
data(顶点域) | firstarc(边表头指针) |
边表
adjvex(邻接点域) | nextarc(指针域) |
(3)特点:若为无向图,则所需存储空间为O(|V|+2|E|);若为有向图,则所需存储空间为O(|V|+|E|)。
稀疏图采用邻接表存储。
方便找出一顶点的邻边。
有向图的邻接表表示中,求一个给定顶点的出度只需计算其邻接表中的结点个数,求入度需要遍历全部的邻接表。
图的邻接表表示不唯一。
(4)图的邻接表存储结构
typedef struct ArcNode{
int adjvex;
struct ArcNode * next;
}ArcNode;
typedef struct VNode {
char data;
ArcNode * first;
}VNode,AdjList[maxvertexnum];
typedef struct {
AdjList vertices;
int vexnum, arcnum;
}ALGraph;
3)十字链表法:有向图的一种链式存储结构。
(1)十字链表中的结点:弧结点和顶点结点。
弧结点
tailvex(尾域) | headvex(头域) | hlink(链域,指向弧头相同的下一条弧) | tlink(链域,指向弧尾相同的下一条弧) | info(指向弧的相关信息) |
顶点结点
data(存放顶点相关的数据信息) | firstin(指向该顶点为弧头的第一个弧结点) | firstout(指向该顶点为弧尾的第一个弧结点) |
(2)特点:图的十字链表表示不唯一,但一个十字链表表示确定一个图。
(3)图的十字链表存储结构
typedef struct ArcNode {
int tailvex, headvex;
struct ArcNode *hlink, *tlink;
}AreNode;
typedef struct VNode {
char data;
ArcNode *firstin, *firstout;
}VNode;
typedef struct {
VNode xlink[maxvertexnum];
int vexnum, arcnum;
}GLGraph;
4)邻接多重表法:无向图的一种链式存储结构。
(1)邻接多重表的结点:存储边和顶点的结点。
存储边的结点
mark(标志域,可用于标记边是否被搜索过) | ivex(该边依附的其中一个顶点的位置) | ilink(指向下一条依附于顶点ivex的边) | jvex(该边依附的其中另一个顶点的位置) | jlink(指向下一条依附于顶点jvex的边) | info(指向和边相关的各种信息的指针域) |
存储顶点的结点
data(存储该顶点的相关信息) | firstedge(指示第一条依附于该顶点的边) |
(2)图的邻接多重表存储结构
typedef struct ArcNode {
bool mark;
int ivex, jvex;
struct ArcNode *ilink, *jlink;
}AreNode;
typedef struct VNode {
char data;
ArcNode *firstdege;
}VNode;
typedef struct {
VNode adjmulist[maxvertexnum];
int vexnum, arcnum;
}AMLGraph;
3、图的遍历
1)广度优先搜索:优先考虑最早被发现的顶点,类似于二叉树的层序遍历。
(1)BFS算法:需要借助队列。空间复杂度O(|V|)。采用邻接表存储方式时,时间复杂度O(|V|+|E|);采用邻接矩阵存储方式时,时间复杂度O(|V|2)。
(2)广度优先生成树:广度遍历得到的遍历树。给定图的邻接矩阵存储表示是唯一的,其广度优先生成树也是唯一的,由于邻接表存储表示不唯一,广度优先生成树不唯一。
2)深度优先搜索:优先考虑最后被发现的顶点,类似于树的先序遍历。
(1)DFS算法:需要借助栈。空间复杂度O(|V|)。采用邻接表存储方式时,时间复杂度O(|V|+|E|);采用邻接矩阵存储方式时,时间复杂度O(|V|2)。
(2)深度优先生成树:深度优先生成树不唯一。
4、图的应用
1)最小生成树(MST):生成树中权值最小的生成树。
(1)一个连通图的生成树是图的极小连通子图。
(2)性质:最小生成树不唯一,即最小生成树的树形不唯一。
当图中各边权值互不相等时,最小生成树唯一。
最小生成树的边的权值之和是唯一的,而且是最小的。
最小生成树的边数为顶点数减1。
(3)Prim算法:从顶点开始扩展最小生成树。
时间复杂度为O(|V|2)。
适用于求解边稠密的图的最小生成树。
(4)Kruskal算法:按权值的递增次序选择合适的边来构造最小生成树的方法。
时间复杂度为O(|E|log|E|)。
适用于边稀疏而顶点较多的图。
2)最短路径:带权路径长度最短的路径。
(1)Dijkstra算法:求单源最短路径,即求图中某一顶点到其他各顶点的最短路径。
使用邻接矩阵表示时,时间复杂度为O(|V|2);采用带权的邻接表表示时,时间复杂度为O(|V|2)。找出所有结点对之间的最短距离,时间复杂度为O(|V|3)
(2)Floyd算法:求每对顶点间的最短路径。
3)拓扑排序
(1)有向无环图(DAG):一个有向图中不存在环。
(2)拓扑排序:由一个有向无环图的顶点组成的序列,且满足以下条件:
每个顶点出现且只出现一次。
若顶点A在序列中排在顶点B的前面,则图中不存在从顶点B到顶点A的路径。
(3)时间复杂度为O(|V|+|E|)。
4)关键路径
(1)AOE网:在带权有向无环图中,以顶点表示时间,以有向边表示活动,以边上的权值表示完成该活动的开销,则称这种有向图为用边表示活动的网络。
(2)开始顶点(源点):在AOE网中仅有一个入度为0的顶点,表示工程的开始。
(3)结束顶点(汇点):在AOE网中仅有一个出度为0的顶点,表示工程的结束。
(4)关键路径:从源点到汇点的所有路径中,具有最大路径长度的路径。
关键路径上的活动称为关键活动。
(5)最短时间:整个工程的关键路径的长度。