剑指 Offer 57

题目描述

输入一个正整数 target ，输出所有和为 target 的连续正整数序列（至少含有两个数）。
序列内的数字由小到大排列，不同序列按照首个数字从小到大排列。

示例1：

输入：target = 9
输出：[[2,3,4],[4,5]]

示例2：

输入：target = 15
输出：[[1,2,3,4,5],[4,5,6],[7,8]]

限制：

1 <= target <= 10^5

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/he-wei-sde-lian-xu-zheng-shu-xu-lie-lcof

思路解析

• 等差数列的前(n)项和为：

[S=na_1+frac{n(n-1)d}{2} ]

• 本题中要求连续正整数，则(d=1)，我们需要求出(n)和(a_1)。
  整理上式，得：

[a_1=frac{S}{n}-frac{n-1}{2}=frac{2S-n(n-1)}{2n} ]

• (S)为题目中的target，仅当(frac{2S-n(n-1)}{2n})为正整数时，满足条件，因此可以遍历(n)，分别检查计算得到的(a_1)是否为正整数，是则将答案存入待输出数组。
• 此外，还可以确定(n)的范围，来减少查找时间，已知前(n)个自然数的和为(frac{n(n+1)}{2})，则若(frac{n(n+1)}{2}=S)时，(n)取到最大值：

[n_{max}=sqrt{2S} ]

• 得到(n)的取值范围为([2,lfloor sqrt{2S} floor])，分别代入上式检查(a_1)是否为正整数即可。

代码实现

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> findContinuousSequence(int target) {
        vector<vector<int>> result;
        int max_add = (int)(sqrt(2 * target));
        for(int i = max_add; i > 1; i--) {
            int p = 2 * target - i * (i - 1);
            int q = 2 * i;
            if(p % q == 0) {
                int a1 = p / q;
                vector<int> tmp;
                for(int j = 0; j < i; j++)
                    tmp.push_back(j + a1);
                result.push_back(tmp);
            }
        }
        return result;
    }
};