下面将证明定理的方法主要归纳为以下几种：
1)直接证明：通过证明当 p 为真时 q 必然为真而进行的对 p->q 的证明。
2)反证法：反证法是一种间接证明方法，利用条件语句 p->q 等价于它的倒置 ￢q->￢p 的事实，换句话说，就是通过证明 q 是假时 p 一定是假来证明 p->q 为真。当不容易找到直接证明时用反证会很有效。在反证中，要假设条件语句的结论为假，并使用直接证明法表明这意味着前提必为假。
3)归谬证明：归谬证明也是一种间接证明方法，假设我们想证明 p 是真的，假定可以找到矛盾式 q 使得 ￢p->q 为真，因为 q 是假的，￢p->q 为真，我们能够得出 ￢p 必然为假，这意味着 p 为真。这样我们的目标就变成了如何寻找矛盾式 q，以此来帮助我们证明 p 为真。因为无论 r 是什么命题，r ^ ￢r 都是矛盾式。也就是说，如果我们能够证明对某个命题 r，￢p->( r ^ ￢r ) 为真时，就能证明 p 是真的。这种类型的证明称为归谬证明。
归谬也能够用于证明条件语句。在这样的证明中，首先假设结论的否定。然后应用定理前提和结论否定得到一个矛盾式。因此可以把条件语句的反证改写成归谬证明。
4)穷举证明：通过检查一系列的所有情况所建立的结果得到的证明。
5)分情形证明：把情况分解为覆盖所有可能的单独情况的证明。一个穷举证明是分情形证明的特殊类型。
6)不失一般性：假定一个证明可以通过减少需要证明的情形来证明的一个法则。也就是通过证明定理的其中一种情况，其它的一系列情况通过简单的变化来论证。
7)反例：使得P(x)为假的元素x。
8)构造性的存在性证明：证明具有特定性质的元素存在，通过显示地方式来寻找这样的元素。
9)非构造性的存在性证明：证明具有特定性质的元素存在，但不是显示地寻找这样的元素。给出非构造性证明的一种普通方法是使用归谬证明。
10)唯一性证明：证明具有特定性质的元素唯一地存在。
此外，还有许多重要的证明方法有：数学归纳法、康托尔对角化方法、计数论证方法等。这里不做过多的阐述。
下面给出几个例题来对上述方法进行演练：
给出习题之前，先给出相关的几个定义：
整数 n 是偶数，如果存在一个整数 k 使得 n = 2k；整数 n 是奇数，如果存在一个整数 k 使得 n = 2k + 1。
若存在则整数 p 和 q（q≠0）使得 r = p / q，那么实数 r 是有理数。不是有理数的实数称为无理数。
若有一个整数 b，使得 a = b2，则整数 a 是一个完全平方数。
习题：
1、证明：若 n 是奇数，则 n2 是奇数。
2、证明：如果 m 和 n 都是完全平方数，那么 mn 也是一个完全平方数。
3、证明：两个有理数的和是有理数。
4、证明：如果 m+n 和 n+p 都是偶数，其中 m、n 和 p 都是整数，那么 m+p 也是偶数。
5、证明定理：若 3n+2 是奇数，则 n 是奇数。
6、证明：如果 n 是整数且 n2 是奇数，则 n 是奇数。
7、证明：如果 n=ab，其中 a 和 b 是正整数，那么 a≤√n 或者 b≤√n。
8、证明：如果 n 是完全平方，那么 n+2 不会是完全平方。
9、10、11、12、、、:-)
13、证明：若 x 是无理数，则 1/x 是无理数。
14、证明：在任意22天中至少有4天属于一个星期的同一天。
15、证明：√2是无理数。
16、证明：当 n 是一个正整数，且 n ≤ 4 时，(n+1)^3 ≥ 3^n。
17、证明：在100以内，连续的正整数是全幂数的只有8和9（全幂数是指它能写成 na，其中 a 是大于1的整数）。
18、证明：当 n 为整数时，有 n2 ≥ n。
19、证明：任意一个完全平方数的最末位数字是：0、1、4、5、6或9。
20、证明：对于整数 x 、y，x2 + 3y2 = 8 没有解。
21、证明：(x + y)r < xr + yr。这里 x 、y 是正实数，r 是 0<r<1 的实数。
每个问题的解决方法不是唯一地，可用方法有：
直接：1、2、3、4 反证：5、6、7、8、13 归谬：5、14、15 穷举：16、17 分情形：18、19、20 不失一般性：21
存在性证明：
构造性的存在性证明：
证明存在某个正整数，可以用两种不同的方式将其表示为正整数的立方和。
经过大量的计算，如使用计算机搜索，可找到 1729 = 103 + 93 = 123 + 13。因为1729满足题设要求，得证。
非构造性的存在性证明：
证明存在无理数 x 和 y 使得 xy 是有理数。
证明策略：
前推与后推（回溯）：
给定两个不同正实数 x 和 y，其算术平均值是 (x + y) / 2 ，其几何平均值是 √xy，证明算术平均值总是大于几何平均值。
假定甲乙两人玩游戏，轮流从最初有15块的石头堆中每次取1、2或3块石头。取最后一块石头的人胜利。证明：无论乙如何取，先取的甲都能赢得游戏。
改造现有证明：根据√2是无理数的证明过程，推测√3是无理数（注：需要用到数论方面的知识）。
另：有关行动证明策略的几个问题
1、我们能用骨牌(一块长方形，由两个方格组成)填充标准棋盘(8x8)吗？
2、我们能用骨牌填充去一角/邻角/对角的标准棋盘吗？
相关术语的概念：
定理：可以证明为真的数学断言。
公理：常作为证明定理的基础，并假设为真的命题。
循环论证或偷用论题：一步或多个步骤基于待证命题的正确性的推理。
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