扩展欧几里得算法

欧几里德算法(求最大公约数)：

LL gcd(LL a, LL b)
{
    return b == 0? a : gcd(b, a%b);
}

　　

顺便写下求最小公倍数(lcm)

LL lcm(LL a, LL b)
{
    return a*b/gcd(a, b);
}

朴素的欧几里德：

　　gcd(a, b)  = gcd(b, a%b);

扩展欧几里德算法：

LL extend_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        LL r = extend_gcd(b, a%b, y, x);
        y -= x*(a/b);
        return r;
    }
}

　　

该算法一般有三种应用：

1. 求解不定方程: ax + by = c (贝祖等式： ax + by = gcd(a, b) )
2. 求解模线性方程(线性同余方程)
3. 求解模的逆元

 

应用1：

• 利用它可以求解整数对(x, y).一定存在这样的整数对(x, y), 使得ax + by = gcd(a, b);对于方程ax + by = c 是否有解可以通过判断c是否是gcd(a, b)的倍数, 即gcd(a, b)|c; 如果方程 ax + by = g(令 g = gcd(a, b))的一组解是(x₀, y₀), 则方程 ax + by = c 有解时, 它的一组解是(x₀*c/g, y₀*c/g)(gcd(a, b)也表示方程解得个数).
• 利用欧几里德可以较容易求出 ax + by = gcd(a, b)的一组解(x₁, y₁), 任取另一组解(x₂, y₂), 则ax₁ + by₁ = ax₂ + by₂,因为它们都等于gcd(a, b);移项并合并同类项得 a(x₁-x₂) = b(y₂-y₁), 令 gcd(a, b) = g, 等式两边同除以g得, a'(x₁-x₂) = b'(y₂-y₁) (a' = a/g, b' = b/g), 此时a'与b'互素(互素：没有共同的质因子或者可以说最大公约数只有1), 由此可知x₁ - x₂一定是b'的整数倍, 令x₁ - x₂ = kb', 则y₂ - y₁ = ka'.
• 不定方程的通解和特解

　　　　通解: 通过上面的第二点可知, 设a, b, c为任意整数, 若方程ax + by = c的一组整数解为(x₀, y₀), 则它的任意整数解都可以写成(x₀+kb', y₀-ka') (a' = a/gcd(a, b), b' = b/gcd(a, b), k取任意整数);所以(x₀+kb', y₀-ka')就是不定方程的通解.

　　　　特解：利用extend_gcd()可以求得一组解(x, y), 令 ans = extend_gcd(), 特解就等于c*x/ans.

　　　　最小解：在实际问题当中,需要的往往是最小整数解,可以通过下面的方法求出最小整数解：

　　　　　　令t = b/gcd(a, b)，x是方程a*x + b*y = n的一个特解，则x = c*x/ans, x_min = (x % t + t) % t, y = (c-a*x)/b.

一道采用扩展欧几里德算法的题: poj 1061--青蛙的约会

应用2:

• 模线性方程组: ax ≡ b(mod n) ("≡"为同余号)   含义："a和b关于模n同余" 或可以说是 "a和b除以n的余数相同"
• 充要条件：a-b是n的整数倍
• 根据模线性方程的定义可知：ax = q*n + r, b = q'*n + r'(a,b,n,q,q',r 都为整数) 由于它们的余数相同即 r = r' 联立等式得, ax - b = n*(q - q') (ax - b是n的整数倍) 令 y = q - q'; 则 ax - ny = b (又回到了不定方程).

　　

LL cal(LL a, LL m, LL c)
{
    LL x, y;
    LL ans = extend_gcd(a, m, x, y);
    if(c%ans==1)
        return -1;
    x *= c/ans;
    m /= ans;
//    m = abs(m); //abs只能对int取绝对值
    if(m < 0)
        m = m*(-1);
    LL sum = x%m;   //求解最小解
    if(sum <= 0)
        sum += m;   //保证最小解非负
    return sum;
}

应用3：

• 当上面的模线性方程组中的 b为1时, 那么就称 ax ≡ 1(mod n) 的解为 a 关于模n的逆(模的逆元),它是模线性方程组的一种特殊式 (也称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元,用来求最小解)
• 由上面模线性方程组的转化可知 ax - ny = 1,要想该等式有解,必须使得贝组等式 ax - ny = 1且等式只有唯一解
• 通解：x = x0 + k*(n/gcd(a,n))    最小解：x = x % n  ( gcd(a, n) = 1 ) 其实与上面不定方程求最小解是一样的

//乘法逆元：ax≡1(mod m)
//a对于m的乘法逆元模板

LL cal(LL a, LL m)
{
    LL x, y;
    LL ans = extend_gcd(a, m, x, y);
    if(1%ans==1)    
        return -1;
    x *= 1/ans;
//    m = abs(m);    //abs只能对int取绝对值
    if(m < 0)
        m = m*(-1);
    LL sum = x%m;
    if(sum <= 0)
        sum += m;
    return sum;
}