整数划分
- 描述
- 将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，
其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不
同划分个数。
例如正整数6有如下11种不同的划分：
6；
5+1；
4+2，4+1+1；
3+3，3+2+1，3+1+1+1；
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
1+1+1+1+1+1。
- 输入
- 第一行是测试数据的数目M（1<=M<=10）。以下每行均包含一个整数n（1<=n<=10）。
- 输出
- 输出每组测试数据有多少种分法。
- 样例输入
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1 6
- 样例输出
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11
- 来源
- [苗栋栋]原创
- 上传者
- 苗栋栋
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此题可以用递归和动态规划两种方法来解决，首先介绍动态规划的，数组dp[N][M]表示N为被划分数，M为划分数的最大值，此题M==N，故即求dp[N][N];
1>状态转移方程：
dp[N][M]=dp[N][M-1]+dp[N-M][M];
该怎样理解呢？这里分两步：
Step 1:所划分的最大数不包括M，即每个划分数都是小于M的，此时总数为dp[N][M-1].
Step 2:所划分的最大数包括M，那么这一步被划分数就应该减去一个M，此时总数为dp[N-M][M].
到这里就是完整的思路了，应该注意的是上面的划分，划分数里有重复的数，那么如果要求划分数没有重复的呢，该怎样求呢？
这里的状态转移方程和上面就有点细微区别了.先来看看方程：
2>dp[N][M]=dp[N][M-1]+dp[N-M][M-1];
其实联系1中的步骤就不难理解了，同样分为两步：
Step 1:所划分的最大数不包括M，即每个划分数都是小于M的，此时总数也是dp[N][M-1].
Step 2:所划分的最大数包括M，那么划分就的相应的减去M，注意到不能重复，即M划分数出现的次数只能为1.所以M就得换成M-1了，即dp[N-M][M-1].
3>在拓展一下，要是划分的个数为确定的数呢？即dp[N][K].表示N被划分成K个数.
这时状态转移方程就为
dp[N][K]=dp[N-K][K]+dp[N-1][K-1].
应该这样理解：
Step 1:被划分的K个数中不包括1，那么就应该先自动的为其分配1，K个数共N-K，剩下的数自由分配，总能保证其值大于2，即dp[N-K][K].
Step 2:存在一个数为1的情况，此时剩下的N-1分给K-1个数，即dp[N-1][K-1].
代码如下：
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 int dp[12][12]; 4 int main() 5 { 6 int T; 7 scanf("%d",&T); 8 while(T--) 9 { 10 int i,j,n; 11 memset(dp,0,sizeof(dp)); 12 scanf("%d",&n); 13 for(i=1;i<=n;i++) 14 { 15 for(j=1;j<=n;j++) 16 { 17 if(i>j) 18 dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]; 19 else if(i==j) 20 dp[i][j]=dp[i][j-1]+1; 21 else if(i<j) 22 dp[i][j]=dp[i][i]; 23 } 24 } 25 printf("%d ",dp[n][n]); 26 } 27 return 0; 28 }
下面来介绍递归的方法：
整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：
n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
例如当n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。
该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;
1.递归法：
根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
（1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};
(2) 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};
(3) 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
(a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
(b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。
因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
(4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);
(5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
(a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这种情况下
为f(n-m,m)
(b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);
因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
综上所述：
f(n, m)= 1; (n=1 or m=1)
f(n, n); (n<m)
1+ f(n, m-1); (n=m)
f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)
代码如下：
1 #include <stdio.h> 2 int f(int n,int m) // fun(n, m)表示将整数 n 划分为最大数不超过 m 的划分 3 { 4 if(n==1||m==1) 5 return 1; 6 else if(m>n) 7 return f(n,n); 8 else if(m==n)// 此时也是两部分，如果含有 m 则只有一种只含有 m 的划分，如果不含有 m 则转化为最大数不超过 m-1 的划分 9 return f(n,m-1)+1; 10 else if(m<n) // 此时将问题转化为两部分 1.划分中含有 m； 2.划分中不含 m 11 return f(n,m-1)+f(n-m,m); 12 } 13 int main() 14 { 15 int T; 16 scanf("%d",&T); 17 while(T--) 18 { 19 int n; 20 scanf("%d",&n); 21 printf("%d ",f(n,n)); 22 } 23 return 0; 24 }