百度面试题

百度二面
第一题，任意给一个数，试证明这个数的某个倍数的十进制表示是01串，比如3的倍数111是二进制表示，5的倍数10是二进制表示，等等。

解答：
假设序列1,11,111,1111…用A1~AN标识，下脚标N即为1的个数，如：A1=1,A2=11,A3=111…
其中没有一个是N的倍数，即AK mod N不等于0（K属于1~N），并且AK mod N的余数各不相同，设它们为a1,a2,a3,…,aN，但AK mod N的余数最多只有N-1个不同，则由鸽巢原理可知，a1,a2,a3,…,aN中必有两个相同，即ai=aj(j>i)，则Aj-Ai=0(mod N)，Aj-Ai即为所求的0和1组成的十进制数M，得证。

第二题，素数有无穷多个，请问是怎么证明的。

解答：
假若素数只有有限多个，设最大的一个是P，从2到P的全体素数是：
2，3，5，7，11……，P。
所有的素数都在这里，此外再没有别的素数了。
现在，我们来考察上面从2到P的全体素数相乘、再加上1这个数，设它是A，即
A=2×3×5×7×11×……×P+1。
A是一个大于1的正整数，它不是素数，就是合数。
如果A是素数，那么，就得到了一个比素数P还要大的素数，这与素数P是最大素数的假设矛盾。
如果A是合数，那么，它一定能够被某个素数整除，设它能被g整除。
因为A被从2到P的任何一个素数除，余数都是1，就是都不能整除，而素数g是能整除A的，所以素数g不在从2到P的全体素数之中。这说明素数g是一个比素数P更大的素数，这又与P是最大的素数的假设矛盾。
上面的证明否定了素数只有有限多个的假定，这就证明了素数是无穷多个。

第三题，给一个很大的数组，里面有两个数只出现过一次，其他数都出现过两次，把这两个数找出来。

解答：
  假设这两个数为a，b，将数组中所有元素异或结果是x=a^b，判断x中位为1的位数（注：因为a！=b，所以x！=0，我们只需知道某一个位为1的位数k，例如0010 1100，我们可取k=2或者3，或者5），然后将x与数组中第k位为1的数进行异或，异或结果就是a，b中一个，然后用x异或，就可以求出另外一个。
  为什么呢？因为x中第k位为1表示a或b中有一个数的第k位也为1，假设为a，我们将x与数组中第k位为1的数进行异或时，也就是将x与a外加上其他第k位为1的出现过偶数次的数进行异或，化简即为x与a异或，结果是b。

  C++代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdlib>                         
using namespace std;
void getNum(int a[],int N){
    int s=0;
    for(int i=0;i<N;i++)
        s^=a[i];
    int tmp1=s,tmp2=s;
    int k=0;
    int j=0;
    while((tmp1&0x1)==0){
        tmp1>>=1;
        k++;
    }   
    for(int i=0;i<N;i++){
        if((a[i]>>k)&1)
            s^=a[i];
    }       
    cout<<s<<' '<<(s^tmp2)<<endl;
}   
int main(){
    const int N=162;
   int a[N];  
   for(int i=0;i<(N-2)/2;i++)
       a[i]=i+1;       
   for(int i=(N-2)/2;i<N-2;i++)
       a[i]=a[i-(N-2)/2];
   a[N-2]=100;
   a[N-1]=101;
   getNum(a,N);
}

第四题，把一个链表逆过来，要求空间复杂度O(1)，这个算简单的。