有关几个特殊命题的证明

这学期刚学习完线性代数，虽然说起来工科生的线性代数不算很难，不过如果要想学的更深入一些，则还有很多材料可供阅读与理解。最近时间不多，难以实践这样的设想；先把这学期所学的一点点内容做一些简单的整理，提高的工作得之后再抽时间来做了。

这次整理的是有关于矩阵秩的四个简单命题，不过我觉得这些命题的证明方法都具有一定的代表性，虽然不难理解，但还是有一些值得品味的地方。因此放在这里，分享给大家。（这几个命题的证明，都是我自己完成的，毕竟这种像练习题一样的命题，证明起来难度都不大。如果所学不多的话，证明方法大概也是大同小异的吧）

命题1：设$mathbf{A}_{n imes m},mathbf{B}_{m imes n}$.若$mathbf{AB}=mathbf{O}$,则$r(mathbf{A})+r(mathbf{B})leq n$.

证明：若$mathbf{B}=mathbf{O}$,结论必成立.反之,则$mathbf{B}$至少有一个非零列$mathbf{eta_j}$.则

$$mathbf{AB}=mathbf{A}[mathbf{eta_1} cdots mathbf{eta_j} cdots mathbf{eta_n}]=[mathbf{Aeta_1} cdots mathbf{Aeta_j} cdots mathbf{Aeta_n}]=mathbf{O},$$
从而$mathbf{Ax=0}$至少有$r(mathbf{B})$个线性无关解.由此知

$$r(mathbf{A})leq n-r(mathbf{B}),$$

移项即得所需证明的结果.

 命题2：若$mathbf{A,B}$是同型矩阵,则有$r(mathbf{A})+r(mathbf{B})geq r(mathbf{A+B})$.

证明：设$mathbf{A}$的极大无关列向量组为$${alpha_{k_1},cdots,alpha_{k_{r(mathbf{A})}}},$$ $mathbf{B}$的极大无关列向量组为$${eta_{k_1},cdots,eta_{k_{r(mathbf{B})}}}.$$ 那么显然,$mathbf{A+B}$的列向量组必为$mathbf{A,B}$各自极大无关列向量组的并集之张成

$$mathbf{P}=mathrm{span}{alpha_{k_1},cdots,alpha_{k_{r(mathbf{A})}},eta_{k_1},cdots,eta_{k_{r(mathbf{B})}}},$$
而该向量组的秩$r(mathbf{P})$不超过作为张成"基底"的元素数,即$r(mathbf{P})leq r(mathbf{A)}+r(mathbf{B})$.由此,便有
$$r(mathbf{A+B})leq r(mathbf{P})leq r(mathbf{A})+r(mathbf{B}).$$

命题3：$r(mathbf{AB})leq min{r(mathbf{A}),r(mathbf{B})}$.

证明：设$mathbf{B}$的极大无关列向量组为${eta_{k_1},cdots,eta_{k_{r(mathbf{B})}}}$.则$B$左乘$A$后所得到的对应列变为

$$mathbf{P}={mathbf{A}eta_{k_1},cdots,mathbf{A}eta_{k_{r(mathbf{B})}}},$$

易见$AB$的各列向量均属于$mathrm{span}mathbf{P}$.但是如同命题2中那样,应当有$r(mathbf{P})leq r(mathbf{B})$(如出现$mathbf{A}eta_{k_m}=mathbf{0}$等情况).因此,可以得到

$$r(mathbf{AB})leq r(mathbf{P})leq r(mathbf{B}).$$

再利用转置关系和刚刚所得到的结论,便有

$$r(mathbf{AB})=r(mathbf{B}^T mathbf{A}^T)leq r(mathbf{A}^T)=r(mathbf{A}),$$

由此即知$r(mathbf{AB})leqmax{r(mathbf{A}),r(mathbf{B})}.$

命题4：

设$mathbf{A}_{n imes n}$,则
$$r(mathbf{A}^{ast})=
egin{cases}
n &, r(mathbf{A})=n;\
1 &, r(mathbf{A})=n-1;\
0 &, r(mathbf{A})leq n-2.
end{cases}
$$
其中$mathbf{A}^{ast}$为$mathbf{A}$的伴随矩阵.

证明：分情况考虑.

1. 若$r(mathbf{A})=n$,那么将有$|mathbf{A}| eq 0$,进而$|mathbf{A}^{ast}|=|mathbf{A}|^{n-1} eq 0$,故$r(mathbf{A}^{ast})=n.$
2. 若$r(mathbf{A})=n-1$,那么必有$mathbf{A}^{ast} eq mathbf{O}$(此时$mathbf{A}$尚有$n-1$阶非零余子式),从而得到
   egin{equation} label{eq:1}
   r(mathbf{A}^{ast})geq 1.
   end{equation}
   另一方面,由于$mathbf{A}$非满秩,故$|mathbf{A}|=0$,从而根据
   $$mathbf{A}mathbf{A}^{ast}=|mathbf{A}|mathbf{I}=mathbf{O}$$
   并利用命题1的结论,即可以知道$r(mathbf{A}^{ast})+r(mathbf{A})leq n$,从而
   egin{equation} label{eq:2}
   r(mathbf{A}^{ast})leq n-r(mathbf{A})=1.
   end{equation}
   综合不等式$mbox{( ef{eq:1})}$,$mbox{( ef{eq:2})}$,即得$$r(mathbf{A}^{ast})=1.$$
3. 若$r(mathbf{A})leq n-2$,那么$mathbf{A}$的所有$n-1$阶余子式均为0,从而必有$$mathbf{A}^{ast}=mathbf{O}.$$由此便有$$r(mathbf{A}^{ast})=0.$$

 

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