#4738. 迷惑数字统计

题目描述

首先定义什么是迷惑数字。

对于一个 $2n$ 位的数字 $X$，将其排列后划分成两个数字，它的前 $n$ 位构成数字 $A$，后 $n$ 位构成数字 $B$. 如果 $A+B$ 是 $10$ 的幂，则数字 $X$ 是迷惑数字。注意 $A$ 和 $B$ 可能有前导 $0$ 。

比如 $46$ 是一个迷惑数字 $(4+6=10)$，$9820$ 是一个迷惑数字 $(98+02=100)$，$08362090$ 也是一个迷惑数字 $(6020+3980=10000)$ 。

现在给你一个 $2n$ 位的数字，其中有些数位丢失了，丢失的数位用 ‘?’ 表示。你需要统计将这些问号替换成数字以获得迷惑数字的方案数。

题解

考场上不知道在想什么，一个数字用到问号的组合数不能分开算！！！

根据问号个数没有很多，我们可以列出 $ ext{dp}$ ： $f[i]$ 表示用了 $i$ 个问号的方案数，然后我们枚举哪两个数相加为 $10$ ，剩下的相加要么为 $9$ ，要么为 $0$ （即 $0$ 和 $0$ 配对），于是枚举一下一对当中的一个用了多少问号就知道另一个用了多少个问号，背包转移即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int P=1e9+7,N=1005;
int n,q,a[10],c[N][N],s,f[2][N],b[10];
char ch[100005];
int main(){
    scanf("%s",ch+1);n=strlen(ch+1);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (ch[i]=='?') q++;
        else b[ch[i]^48]++;
    }
    c[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=q;i++){
        c[i][0]=1;
        for (int j=1;j<=q;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%P;
    }
    for (int i=1,x,y,u,v,w,X,Y;i<=5;i++){
        memset(f[0],0,sizeof f[0]);
        for (int j=0;j<10;j++) a[j]=b[j];
        while(a[i]<1+(i==5)) a[i]++;
        while(a[10-i]<1+(i==5)) a[10-i]++;
        for (int j=0;j<10;j++) a[j]-=b[j];
        Y=f[X=0][0]=1;
        for (int j=1;j<5;j++){
            memset(f[Y],0,sizeof f[Y]);
            x=j;y=9-x;
            u=a[x]+b[x]-(x==i)-(x==10-i);
            v=a[y]+b[y]-(y==i)-(y==10-i);
            if (u>v) swap(u,v),swap(x,y);
            w=v-u;
            for (int z,k=0;;k++){
                z=k+k+w+a[x]+a[y];
                if (z>q) break;
                for (int o=q-z;~o;o--)
                    (f[Y][o+z]+=1ll*f[X][o]*c[q-o][k+a[y]]%P*c[q-o-k-a[y]][k+w+a[x]]%P)%=P;
            }
            X^=1;Y^=1;
        }
        u=a[0]+b[0];v=a[9]+b[9]-(i==1);
        for (int j=0;j<=q;j++)
            for (int k=0;k+j+a[9]<=q;k++)
                if (u+j>=v+k+a[9] && !((u+j-v-k-a[9])&1))
                    (s+=1ll*f[X][q-j-k-a[9]]*c[j+k+a[9]][j]%P)%=P;
    }
    cout<<s<<endl;return 0;
}