CF17E Palisection 题解

Description

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Solution

非常有意思的一道题。

看到回文子串，首先想到的 manacher 算法。emm……但是写了 manacher 之后怎么做呢？

我们发现，求相交的回文子串非常麻烦，所以直接一波正难则反，用总的回文子串数减去不相交的。

接下来考虑如何求不相交的回文子串。

我们开两个数组 (f_i)，(g_i)。(f_i) 表示以 (i) 为开头的回文串有多少个，(g_i) 表示以 (i) 为结尾的回文串有多少个。

看到标签里的(color{blue}{前缀和})，我们给 (g_i) 做个前缀和存到 (sum_i) 里，那么 (sum_i) 就表示结尾是 (i) 及以前的点的回文子串有多少个， 我们发现不相交的回文子串个数就是:

[res = sumlimits_{i = 1}^{n}{sum_i imes f_{i + 1}} ]

用总数减去即可。

那么 (f_i) 和 (g_i) 怎么求呢？

我们发现标签里的 (color{blue}{差分}) 还没有用到标签真是好用。考虑用差分。

我们已经使用 manacher 算法求出了每个点作为回文串的中心时最长的回文半径是多少，设为 (p_i)（(p_i) 是原字符串扩展后的新串的回文半径，长度就是原串的回文串的长度，如果不懂的话可以去学一下 manacher，这里不再赘述）。

我们发现，一个半径 (p_i) 会形成许多回文串，分别是：

[i - p_i + 1 sim i sim i + p_i - 1 ]

[i - p_i + 2 sim i sim i + p_i - 2 ]

[i - p_i + 3 sim i sim i + p_i - 3 ]

[· ]

[· ]

[i - 1 sim i sim i + 1 ]

也就是说，我们要对 (f_{i - p_i + 1} sim f_i) 都 +1，同样的，对(g_i sim g_{i + p_i - 1}) 也都 +1。

这时我们就可以用差分来解决了，即 (f_{i - p_i + 1}++)，(f_{i + 1}--)，同时对 (g_{i}++)，(g_{i + p_i}--)。

最后循环一遍统计答案就可以啦，需要注意的是，现在我们已经把原本的字符串扩展过了，所以循环的增幅为 2。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

const ll N = 4e6 + 10;
const ll mod = 51123987;
ll n, ans, tot, sum;
char s[N], a[N];
ll f[N], g[N], p[N];

inline void manacher(){
    s[0] = '*', s[(n << 1) + 1] = '#';
    for(ll i = 1; i <= n; ++i)
        s[(i << 1) - 1] = '#', s[i << 1] = a[i];
    n = (n << 1) + 1;
    ll mx = 0, id = 0;
    for(ll i = 1; i <= n; ++i){
        if(i < mx) p[i] = min(mx - i, p[(id << 1) - i]);
        else p[i] = 1;
        while(i - p[i] >= 1 && i + p[i] <= n && s[i - p[i]] == s[i + p[i]]) p[i]++;
        if(i + p[i] > mx) mx = i + p[i], id = i;
        tot = (tot + (p[i] >> 1)) % mod;
    }
}

signed main(){
    scanf("%lld%s", &n, a + 1);
    manacher();
    for(ll i = 1; i <= n; ++i){
        f[i - p[i] + 1]++, f[i + 1]--;
        g[i]++, g[i + p[i]]--;
    }
    for(ll i = 1; i <= n; ++i)
        f[i] += f[i - 1], g[i] += g[i - 1];
    ans = tot * (tot - 1) / 2 % mod;
    for(ll i = 2; i <= n - 2; i += 2){
        sum = (sum + g[i]) % mod;
        ans = (ans - sum * f[i + 2] % mod + mod) % mod;
    }
    printf("%lld
", ans);
    return 0;
}

End