问题 证明如下Cauchy矩阵正定$$A=left(frac{1}{a_{i}+a_{j}} ight)_{n imes n},a_{i} eq a_{j}>0$$
证明不难,由于他的各阶顺序主子式是可求的,容易验证均为正,从而$A$正定；另一方法是利用欧式空间一组基的度量矩阵必为正定的,这里我们取egin{align*}V={ m span}{x^{a_{1}-1/2},cdots,x^{a_{n}-1/2}},xin[0,1] ag{1}end{align*}
可以验证$V$确实构成线性空间,并且我们定义内积$$left(x^{a_{i}-1/2},x^{a_{j}-1/2} ight)=int_{0}^{1}x^{a_{i}-1/2}cdot x^{a_{j}-1/2}{ m d}x=frac{1}{a_{i}+a_{j}}$$
所以$A$即为(1)中基的度量阵,必然正定.
当然了空间$V$和基的选取并不唯一,例如可以取$$frac{1}{a_{i}+a_{j}}=int_{0}^{+infty}e^{-a_{i}x}cdot e^{-a_{j}x}{ m d}x$$
而这样选取对这个结论的推广是有益的.更一般的我们有：矩阵$$B=left(frac{1}{(a_{i}+a_{j})^lambda} ight)_{n imes n},lambda>0$$
是正定的.因为$$frac{1}{left(a_{i}+a_{j} ight)^lambda}=frac{1}{Gamma(lambda)}int_{0}^{+infty}e^{-a_{i}x}cdot e^{-a_{j}x}x^{lambda-1}{ m d}x$$
所以说$B$也是正定的. 而如果$lambdainmathbb N$,则可以用Hadamard乘积来说明$B$的正定性,由于$$left(frac{1}{(a_{i}+a_{j})^lambda} ight)_{n imes n}=left(frac{1}{a_{i}+a_{j}} ight)_{n imes n}circleft(frac{1}{a_{i}+a_{j}} ight)_{n imes n}circcdotscircleft(frac{1}{a_{i}+a_{j}} ight)_{n imes n}$$
而Hadamard乘积的一个重要性质就是：若$A,B$正定,那么他们的Hadamard乘积$Acirc B$也是正定的.这样也能得出正定性.
据此我们还可以得出如下矩阵的正定性$$C=left(frac{1}{a_{i}^{2}+lambda a_{i}a_{j}+a_{j}^{2}} ight)_{n imes n},lambdain(-2,2)$$
由于egin{align*}frac{1}{a_{i}^{2}+lambda a_{i}a_{j}+a_{j}^{2}}&=frac{1}{(a_{i}+a_{j})^2}cdotfrac{1}{1-frac{(2-lambda)a_{i}a_{j}}{(a_{i}+a_{j})^2}}\&=sum_{k=0}^{infty}(2-t)^kfrac{a_{i}^{k}a_{j}^k}{(a_{i}+a_{j})^{2k+2}}end{align*}
注意到每个矩阵$left(frac{a_{i}^{k}a_{j}^k}{(a_{i}+a_{j})^{2k+2}} ight)_{n imes n}$都是正定的,这是由于$$left(frac{a_{i}^{k}a_{j}^k}{(a_{i}+a_{j})^{2k+2}} ight)_{n imes n}=left(egin{array}{ccc}a_{1}^{k}&&\&ddots&\&&a_{n}^{k}end{array} ight)left(frac{1}{(a_{i}+a_{j})^{2k+2}} ight)_{n imes n}left(egin{array}{ccc}a_{1}^{k}&&\&ddots&\&&a_{n}^{k}end{array} ight)$$
与$left(frac{1}{(a_{i}+a_{j})^{2k+2}} ight)_{n imes n}$合同,因此正定.而正定矩阵之和也是正定的,因此矩阵$C$也是正定的.