问题
设$fin H(B(0,1)cup{1})$,且$$f(B(0,1))subset B(0,1),f(1)=1$$
证明$f'(1)geq0$.
几何上来看是显然的,如下图
$z=1$的邻域,也就是图中阴影部分一定不会发生旋转,及时旋转,旋转角必为$2kpi$,否则无法保证$$f(B(0,1))subset B(0,1).$$
所以肯定有$f'(1)geq0$.
证明 由于egin{align*}f'(1)&=lim_{z o1}frac{f(z)-1}{z-1}\Rightarrow f(z)&=1+f'(1)(z-1)+o(|z-1|)\Rightarrow |f(z)|^2&=f(z)overline{f(z)}=1+2{ m Re}f'(1)(z-1)+o(|z-1|)<1\Rightarrow { m Re}f'(1)(1-z)&>o(|1-z|)\Rightarrow { m Re}f'(1)e^{i heta}&>frac{o(|1-z|)}{|1-z|}end{align*}
上式两端令$z o1$可知$${ m Re}f'(1)e^{i heta}geq0$$
其中$ heta={ m arg}(1-z)$,显然$ hetainleft[-frac{pi}{2},frac{pi}{2} ight]$,分别取$$ heta=0,-frac{pi}{2},frac{pi}{2}$$
可得egin{align*}{ m Re}if'(1)geq0;-{ m Re}if'(1)&geq0;{ m Re}f'(1)geq0\Rightarrow f'(1)&geq0end{align*}
利用这个题目的结论便可以解决下面一题：
设$fin H(B(0,1))$,如果存在$z_{0}in B(0,1)setminus{0}$使得$$f(z_{0}) eq0,f'(z_{0}) eq0$$
且$$|f(z_{0})|=maxlimits_{|z|leq|z_{0}|}|f(z)|$$
那么有$$frac{z_{0}f'(z_{0})}{f(z_{0})}>0.$$
我们考虑函数$$g(z)=frac{z_{0}f(zz_{0})}{f(z_{0})}$$
并利用上题结论即可.
另一方法可以充分利用题目中模在园内为最大值的条件.分别考虑函数$$g( heta)=left|fleft(z_{0}e^{i heta} ight) ight|^2,h(t)=|f(tz_{0})|^2$$
即可