习题：
7.请把定理1.4.10改写成更一般的语言来叙述,第一句是:"设$f$是群$G_{1}$到$G_{2}$的满同态,且$H<G_{1}$,并记$N={ m Ker}f$,则……"
解答 与该定理类似的我们有：
(1)$HN$是$G_{1}$中包含$N$的子群且
$$HN=f^{-1}(f(H))$$
即$HN$是$f(H)$的完全原象;
(2)$(Hcap N)lhd H$且${ m Ker}f|_{H}=Hcap N$;
(3)考虑同态满射$f|_{H}:H o f(H)=HN$,据同态基本定理便知
$$HNsimeq H/(Hcap N)$$
9.举例说明下列命题不正确：
设$G_{1},G_{2}$不正确,$N_{1}lhd G_{1},N_{2}lhd G_{2}$,且有
$$G_{1}simeq G_{2},N_{1}simeq N_{2}$$
则必有$G_{1}/N_{1}simeq G_{2}/N_{2}$.
解答 例如取$G_{1}=G_{2}=mathbb Z:{mathbb Z,+}$,取$N_{1}=2mathbb Z,N_{2}=3mathbb Z$,那么$N_{1}simeq N_{2}$.事实上根据如下同构便知
egin{align*}phi:N_{1}& o N_{2}\2a&mapsto 3aend{align*}
但是$G_{1}/N_{1}=mathbb Z_{2},G_{2}/N_{2}=mathbb Z_{3}$,而
$$|mathbb Z_{2}|=2,|mathbb Z_{3}|=3$$
显然二者不同构.
补充题：
1.证明定理1.4.8,内容如下：
设$f$是群$G_{1}$到$G_{2}$的满同态,记$N={ m Ker}f$,则
(1)$f$建立了$G_{1}$中包含$N$的子群与$G_{2}$中子群间的双射;
(2)上述映射把正规子群映成正规子群;
(3)若$Nsubset Hlhd G_{1}$,则
$$G_{1}/Hsimeq G_{2}/f(H).$$
证明 (1)令$Gamma$表示$G_{1}$中包含$N$的子群的全体，$Sigma$表示$G_{2}$的子群的全体,作
egin{align*}phi:Gamma& oSigma\H&mapsto f(H)end{align*}
由于$f$是满同态，那么显然$phi$确实是一个映射,同时$phi$显然也是满的.再来说明$phi$单,否则存在$H_{1},H_{2}inGamma$且$H_{1} eq H_{2}$使得
$$f(H_{1})=f(H_{2})$$
从而存在$bin H_{2}$且$b otin H_{1}$,以及$ain H_{1}$使得
$$f(a)=f(b)$$
易知$ab^{-1}in Nsubset H_{1}$,从而$bin H_{1}$,矛盾！这就说明$phi$确实是单的.
综合便知$phi$为双射.
(2)由$f$满同态，是显然的.
(3)由(2)知$f(H)lhd G_{2}$,作对应关系
egin{align*}varphi: G_{1}/H& o G_{2}/f(H)\aH&mapsto f(a)f(H)end{align*}
先来说明$varphi$确实是映射,设$aH=bH$,即$b^{-1}ain H$,那么$left(f(b) ight)^{-1}f(a)in f(H)$,从而
egin{align*}f(a)f(H)&=f(b)f(H)\Rightarrowvarphi(aH)&=varphi(bH)end{align*}
所以$varphi$确实是映射.
然后不难验证$varphi$是同构,从而
$$G_{1}/Hsimeq G_{2}/f(H).$$
2.设$sigma$是群$G$到自身的自同构,且满足
$$sigma(g)=gRightarrow g=e$$
证明：
(1)$f:g osigma(g)g^{-1}$是单射;
(2)若$G$是有限群,则$G$的每个元素均可写成$sigma(g)g^{-1}$的形式;
(3)若$G$是有限群,且$sigma^2={ m id}_{G}$,那么$G$为奇数阶Abel群.
证明 (1)设$f(g)=f(h)$,则
egin{align*}sigma(g)g^{-1}&=sigma(h)h^{-1}\Rightarrowsigma(h^{-1}g)&=h^{-1}g=eend{align*}
从而$g=h$,即$f$单.
(2)由于$|G|<infty$,而据(1)便知
$$|f(G)|geq|G|$$
注意$f(G)subset G$,从而$f(G)=G$.而$f(G)$中任一元素均具有$sigma(g)g^{-1}$的形式,也就是说$G$中元素也具有此形式.
(3)由(2)知$forall gin G$,具有形式$sigma(a)a^{-1}$,从而
egin{align*}sigma(g)&=sigma^2(a)sigma(a^{-1})=left(sigma(a)a^{-1} ight)^{-1}=g^{-1}end{align*}
由有题目可知若$g eq e$,则$sigma(g)=g^{-1} eq g$,所以在$G$中非零元必然成对出现,所以$|G|$为奇数.
此外$forall g,hin G$有
$$gh=sigmaleft((gh)^{-1} ight)=sigma(h^{-1})sigma(g^{-1})=hg$$
所以$G$是Abel群.
4.证明${mathbb Q^*,cdot}$与${mathbb Q,+}$不同构.
证明 若存在同构$f:mathbb Q^* omathbb Q$,则
$$f(-1)^2=f(1)=0$$
从而$f(-1)=0$,与$f$单矛盾!
5.求${mathbb C^*,cdot}$的子群$N$使得
$${mathbb C^*,cdot}/Nsimeq{mathbb R^+,cdot}.$$
解 作映射egin{align*}phi:mathbb C^*& omathbb R^+\z&mapsto|z|end{align*}
我们不难验证$phi$为同态满射,且
$${ m Ker}phi={e^{i heta}:-pi< hetaleqpi}$$据同态基本定理可知
$$mathbb C^*/{ m Ker}phisimeqmathbb R^+$$
因此取$N={ m Ker}phi$即可.
6.设$Hlhd G$,且$|H|=n$,$|G/H|=m$,且$(m,n)=1$.证明：$H$是$G$的唯一的$n$阶子群.
证明 若存在$G$的另一$n$阶子群$H_{1}<G$,据定理1.4.10可知
$$H_{1}/(H_{1}cap H)simeq (H_{1}H)/H$$
如果设$|H_{1}cap H|=l$,那么显然$lmid n$.又$(H_{1}H)/H<G/H$,据Lagrange定理
$$vert H_{1}/(H_{1}cap H)vertig|vert G/Hvert$$
从而egin{align*}frac{n}{l}mid mRightarrow n&mid mlRightarrow nmid lend{align*}
所以$n=l$,而$H_{1}cap Hsubset H$且$H_{1}cap Hsubset H_{1}$,易知
$$H=H_{1}$$
所以$H$是唯一的$n$阶子群.