LA 2218 半平面交

 题目大意：n名选手参加铁人三项赛，比赛按照选手在三个赛段中所用的总时间排定名次。已知每名选手在三个项目中的速度Ui、Vi、Wi。
问对于选手i，能否通过适当的安排三个赛段的长度（但每个赛段的长度都不能为0），来保证他获胜。

分析：假设三个赛段的长度分别为x、y、z，则选手i获胜的充要条件就是：

 x/vi+y/ui+(1-x-y)/wi<x/vj+y/uj+(1-x-y)/wj

整理成Ax+By+C>0

本题就转化为求这n-1个不等式对应的半平面的交，加上x>0,y>0,1-x-y>0这三个约束，并判断其面积是否大于0（即排除空集、点、线的情况）。

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#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct Point {
	double x, y;
	Point(double x=0, double y=0):x(x),y(y) { }
};

typedef Point Vector;

Vector operator + (const Vector& A, const Vector& B) { return Vector(A.x+B.x, A.y+B.y); }
Vector operator - (const Point& A, const Point& B) { return Vector(A.x-B.x, A.y-B.y); }
Vector operator * (const Vector& A, double p) { return Vector(A.x*p, A.y*p); }
double Dot(const Vector& A, const Vector& B) { return A.x*B.x + A.y*B.y; }
double Cross(const Vector& A, const Vector& B) { return A.x*B.y - A.y*B.x; }
double Length(const Vector& A) { return sqrt(Dot(A, A)); }
Vector Normal(const Vector& A) { double L = Length(A); return Vector(-A.y/L, A.x/L); }

// 有向直线。它的左边就是对应的半平面
struct Line {
	Point P;    // 直线上任意一点
	Vector v;   // 方向向量
	double ang; // 极角，即从x正半轴旋转到向量v所需要的角（弧度）
	Line() {}
	Line(Point P, Vector v):P(P),v(v){ ang = atan2(v.y, v.x); }
	bool operator < (const Line& L) const {
		return ang < L.ang;
	}
};

// 点p在有向直线L的左边（线上不算）
bool OnLeft(const Line& L, const Point& p) {
	return Cross(L.v, p-L.P) > 0;
}

// 二直线交点，假定交点惟一存在
Point GetLineIntersection(const Line& a, const Line& b) {
	Vector u = a.P-b.P;
	double t = Cross(b.v, u) / Cross(a.v, b.v);
	return a.P+a.v*t;
}

const double INF = 1e8;
const double eps = 1e-6;

// 半平面交主过程
vector<Point> HalfplaneIntersection(vector<Line> L) {
	int n = L.size();
	sort(L.begin(), L.end()); // 按极角排序
	int first, last,i;         // 双端队列的第一个元素和最后一个元素的下标
	vector<Point> p(n);      // p[i]为q[i]和q[i+1]的交点
	vector<Line> q(n);       // 双端队列
	vector<Point> ans;       // 结果
	q[first=last=0] = L[0];  // 双端队列初始化为只有一个半平面L[0]
	for(i = 1; i < n; i++) 
	{
		while(first < last && !OnLeft(L[i], p[last-1])) last--;
		while(first < last && !OnLeft(L[i], p[first])) first++;
		q[++last] = L[i];
		if(fabs(Cross(q[last].v, q[last-1].v)) < eps) { // 两向量平行且同向，取内侧的一个
			last--;
			if(OnLeft(q[last], L[i].P)) q[last] = L[i];
		}
		if(first < last) p[last-1] = GetLineIntersection(q[last-1], q[last]);
	}
	while(first < last && !OnLeft(q[first], p[last-1])) last--; // 删除无用平面
	if(last - first <= 1) return ans; // 空集
	p[last] = GetLineIntersection(q[last], q[first]); // 计算首尾两个半平面的交点
	
	// 从deque复制到输出中
	for(i = first; i <= last; i++) ans.push_back(p[i]);
	return ans;
}

const int maxn = 100 + 10;
int V[maxn], U[maxn], W[maxn];
int main()
{
	int n,i,j,ok;
	double k;
	while(scanf("%d", &n) == 1 && n)
	{
		for(i = 0; i < n; i++) scanf("%d%d%d", &V[i], &U[i], &W[i]);
		for(i = 0; i < n; i++) 
		{
			ok = 1;
			k = 10000;
			vector<Line> L;
			for(j = 0; j < n; j++) if(i != j) 
			{
				if(V[i] <= V[j] && U[i] <= U[j] && W[i] <= W[j]) { ok = 0; break; }
				if(V[i] >= V[j] && U[i] >= U[j] && W[i] >= W[j]) continue;
				// x/V[i]+y/U[i]+(1-x-y)/W[i] < x/V[j]+y/U[j]+(1-x-y)/W[j]
				// ax+by+c>0
				double a = (k/V[j]-k/W[j]) - (k/V[i]-k/W[i]);
				double b = (k/U[j]-k/W[j]) - (k/U[i]-k/W[i]);
				double c = k/W[j] - k/W[i];
				Point P;
				Vector v(b, -a);
                                //避免误差：避免较小的数作除数

                      		if(fabs(a) > fabs(b)) P = Point(-c/a, 0);
				else P = Point(0, -c/b);
				L.push_back(Line(P, v));
			}
			if(ok) 
			{
				// x>0, y>0, x+y<1 ==> -x-y+1>0
				L.push_back(Line(Point(0, 0), Vector(0, -1)));
				L.push_back(Line(Point(0, 0), Vector(1, 0)));
				L.push_back(Line(Point(0, 1), Vector(-1, 1)));
				vector<Point> poly = HalfplaneIntersection(L);
				if(poly.empty()) ok = 0;
			}
			if(ok) printf("Yes
"); else printf("No
");
		}
	}
	return 0;
}