证明nullfibonacci数列的性质(ZOJ3707)

文章结束给大家来个程序员笑话：[M]

    题目：Calculate Prime S

    题意：

    Define S[n] as the number of subsets of {1, 2, ...,n} that contain no consecutive integers. For each S[n], if for alli (1 ≤ i < n) gcd(S[i],

    S[n]) is 1, we call that S[n] as aPrime S. Additionally, S[1] is also a Prime S. For theK^th minimum Prime S, we'd like to find the

    minimum S[n] which is multiple of X and not less than theK^th minimum Prime S. Please tell us the corresponding (S[n] ÷X) mod M.

     

    fibonacci数列的性子：

    1.gcd(fib(n),fib(m))=fib(gcd(n,m))

    证明：可以通过反证法先证fibonacci数列的恣意相邻两项一定互素，然后可证n>m时gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(n-m),fib(m))，递归可

    求gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(k),fib(l))，最后k=l，不然继承递归。K是通过展转相减法求出，易证k=gcd(n,m)，所以gcd(fib(n),fib(m))

    =fib(gcd(n,m))。

     

    2.如果fib(k)能被x整除，则fib(k*i)都可以被x整除。

    3.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1

    4.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)

    5.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1

    6.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)

    7.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1

    每日一道理
坚持的昨天叫立足，坚持的今天叫进取，坚持的明天叫成功。

    8.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)

    9.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)

    10.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2

    11.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)

    12.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]

     

    还有一个结论：

    盘算(a/b)%c  其中b能整除a

    如果b与c互素，则(a/b)%c=a*b^(phi(c)-1)%c

    如果b与c不互素，则(a/b)%c=(a%bc)/b

    对于b与c互素和不互素都有(a/b)%c=(a%bc)/b成立

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <math.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N=16000000;

LL p[N];
bool prime[N];
LL k=1;

void isprime()
{
    LL i,j;
    p[0]=1;
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    for(i=2;i<N;i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[k++]=i;
            for(j=i+i;j<N;j+=i)
            {
                prime[j]=false;
            }
        }
    }
    p[1]=3;p[2]=4;
}

typedef struct
{
    LL m[2][2];
}Matrix;

Matrix per={1,0,0,1};
Matrix a={1,1,1,0};

Matrix multi(Matrix a,Matrix b,LL MOD)
{
    Matrix c;
    LL i,j;
    for(i=0;i<2;i++)
    {
        for(j=0;j<2;j++)
        {
            c.m[i][j]=0;
            for(k=0;k<2;k++)
            {
                c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];
                c.m[i][j]%=MOD;
            }
        }
    }
    return c;
}

Matrix matrix_mod(LL k,LL MOD)
{
    Matrix p=a,ans=per;
    while(k)
    {
        if(k&1)
        {
            ans=multi(ans,p,MOD);
            k--;
        }
        k>>=1;
        p=multi(p,p,MOD);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    LL K,X,M,t,i,ret,r;
    isprime();
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&K,&X,&M);
        Matrix ans;

        for(i=p[K];;i++)
        {
            ans=matrix_mod(i-1,X);
            if((ans.m[0][0]%X==0))
            {
                r=i;
                break;
            }
        }
        ans=matrix_mod(i-1,M*X);
        ret=ans.m[0][0]/X;
        printf("%lld\n",ret);
    }
    return 0;
}

    
 

文章结束给大家分享下程序员的一些笑话语录： 手机终究会变成PC，所以ip会比wm更加畅销，但是有一天手机强大到一定程度了就会发现只有wm的支持才能完美享受。就好比树和草，草长得再高也是草，时间到了条件成熟了树就会窜天高了。www.ishuo.cn

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