[置顶] 划分树小结

最近学习了一下划分树，下面总结一下。

我们在求区间最值的时候，一般可以用线段树解决，但是如果要求区间第k小或者第k大值的话线段树就有点力不从心了，这是我们可以用划分树来解决。划分树利用了快速排序的思想，首先是建树，我们设当前区间的中位数为mid，(为了能快速找到区间的中位数，我们一般先对原序列做一次排序)则我们将区间中比mid小的放入左子树，将区间中比mid大数的放入右子树中，和mid相等的要讨论一下，有些需要放到左子树中，其他的放到右子树中，注意我们将数字放入子树的时候其相对顺序是不变的。这样我们一层一层下去，每次区间都减半，则空间消耗为O（nlogn）。下面看一个例子。

假设序列长度为9，依次为 3 5 7 3 4 9 4 2 5，怎我们看看建树完成后是什么样子。

sort[ ][2  3  3  4  4  5  5  7  9]

tree[0][3  5  7  3  4  9  4  2  5]

tree[1][3  3  4  4  2][5  7  9  5]

tree[2][3  3  2][4  4][5  5][7  9]

tree[3][3  2][3][4][4][5][5][7][9]

tree[4][2][3][3][4][4][5][5][7][9]

好了，树建完了，接下来就是最关键的查询了，我们设函数query（p,l,r,s,t,k）表示在第p层子树区间范围在[l,r]的子树中查找区间[s,t]中的第k小值。我们在每一颗子树中设sum[i]表示区间[l,i]范围内有多少个数字被放到了左子树中，那么我们容易得到，sum[t]-sum[s-1]表示在区间[s,t]有多少个树被放入了左子树中，我们不妨设这个值为num，若k<=num，我们就可以知道我们要找的数一定在左子树中，否则一定在右子树中，我们接下来只要继续往下遍历，当l==r的时候我们就可以确定我们要找的数，容易知道这一步骤的复杂度为O(log n)，现在关键的一点就是如何再往下便利的时候确定ls,t的值。这个其实自己画画图就很容易推出来的，下面只写结论，这里先设区间[l,s-1]中被放入左子树的数有snum个,当前区间的中点为mid，

则若k<=num,我们返回query(p+1,l,mid,l+snum,l+sum[t]-1,k),(要找的数在左子树上)

否则，我们返回query(p+1,mid+1,r,mid+1-l+s-snum,mid+1-l+t-sum[t],k-num);（要找的数在右子树上）

下面再举个例子，数和上面一样

我们现在要找到区间[2,7]中的第3小数。

sort[ ][2  3  3  4  4  5  5  7  9]

tree[0][3  5  7  3  4  9  4  2  5]

tree[1][3  3  4  4  2][5  7  9  5]

tree[2][3  3  2][4  4][5  5][7  9]

tree[3][3  2][3][4][4][5][5][7][9]

tree[4][2][3][3][4][4][5][5][7][9]

以上橙黄色背景的数字即为我们要求的范围。

我们首先在第一层树上寻找，即query(0,1,9,2,7,3),我们发现在[2,7]区间中有3个数被放入了左子树，满足k<=num，所以我们往左子树中找，调用query(1,1,5,2,4,3)。

在第二层树中我们发现区间[2,4]只有一个数被放入左子树，所以我们要找的数一定在右子树中，调用query(2,4,5,4,5,2)。

在第三层树中，我们发现区间[4,5]只有一个数被放入左子树，同理我们应该往右子树找，调用query(3,5,5,5,5,1)。现在可以发现l==r，则我们可以确定已经找到了要找的数，则返回4即可，我们可知在区间[2,7]上第3小的数为4。

基础的划分树就到这里，下面给出我的代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#define maxn 100010
#define mid ((l+r)>>1)
using namespace std;
int t[20][maxn],sum[20][maxn];
int a[maxn],as[maxn];
//以下为查找区间第k小划分树
void build(int p,int l,int r)
{
    int lm=0,i,ls=l,rs=mid+1;//lm表示应被放入左子树且与中位数相等的数有多少个，ls为左子树的起始位置，rs为右子树的起始位置
    for(i=mid;i>=l;i--) //求lm
    {
        if(as[i]==as[mid])
        lm++;
        else
        break;
    }
    for(i=l;i<=r;i++)
    {
        if(i==l)//这里要特殊讨论
        sum[p][i]=0;
        else
        sum[p][i]=sum[p][i-1];
        if(t[p][i]==as[mid])//若与中位数相等则判断是否应该被放入左子树
        {
            if(lm)
            {
                lm--;
                sum[p][i]++;
                t[p+1][ls++]=t[p][i];
            }
            else
            t[p+1][rs++]=t[p][i];
        }
        else if(t[p][i]<as[mid])//查找区间第K大即为>
        {
            sum[p][i]++;
            t[p+1][ls++]=t[p][i];
        }
        else
        t[p+1][rs++]=t[p][i];
    }
    if(l==r)
    return;
    build(p+1,l,mid);
    build(p+1,mid+1,r);
}
int query(int p,int l,int r,int ql,int qr,int k)
{
    int s,ss;//s表示l到ql-1的区间内放入左子树的个数，ss表示区间[ql,qr]被放入左子树的个数
    if(l==r)//找到所求的数
    return t[p][l];
    if(ql==l)
    s=0,ss=sum[p][qr];
    else
    s=sum[p][ql-1],ss=sum[p][qr]-s;
    if(k<=ss)//要找的数在左子树中
    return query(p+1,l,mid,l+s,l+sum[p][qr]-1,k);
    else//要找的数在右子树中
    return query(p+1,mid+1,r,mid+1-l+ql-s,mid+1-l+qr-sum[p][qr],k-ss);
}

下面是两道划分树的模板题

poj 2104

题解这里有http://blog.csdn.net/dyx404514/article/details/8732257

hdu 4417

题解这里有：http://blog.csdn.net/dyx404514/article/details/8732468