九度 1537：买卖股票(区间DP)

总结

1. 更新动规矩阵时, 不要 push 更新, 要用 pull更新. push 更新容易让逻辑出问题, 自己卡了很久, 改用 pull 就变得很顺利了

2. acm 题, 空间至多是百万, 再网上就会超的

3. 曾做过一道题, 和这个类似. 好像是背包问题的一个变形把, 核心都是降维. 降维的过程又是一道动规题目

题目描述：

给定一个大小为n的数组，数组的元素a[i]代表第i天的股票价格
设计一个算法，计算在最多允许买卖k次（一买一卖记为一次）的条件下的最大收益
需要注意的是，你不能同时拥有两份股票。也就是说在下次买入前，你必须把手头上原有的股票先卖掉

思路

1. 假设 dp[i][j] 表示前 i 天, 最多允许买卖 j 次的最大收益, 那么 dp[i][j] = max{(dp[m][j-1] + price[i]-price[m+1]),price[i]-price[0]}  (0<=m<i) 需要遍历 i, j, m 时间复杂度为o (n*n*k), 提交代码超时

2. 若是把 dp[i][j] 拆开来写, 那么

dp[i][j] = max {

0 - price[0] + price[i],

dp[0][j-1] - price[1] + price[i],

dp[1][j-1] - price[2] + price[i],

...

dp[i-1][j-1] - price[i] + price[i]

}

在求解 dp[i][j] 之前, dp[i-1][j-1] 已经被求出, 所以可以存储 max(dp[m][j-1]-price[m+1]), 在 dp[i][j] 需求时直接调用, 这样的话, 时间复杂度下降一维, o(n*k)

总体的思路就是上面了

3. 假设 dp2[n-1][k-1] 为所求的最终结果, 假设

dp1[i][j] = max {

0 - price[0], 

dp2[0][j-1] - price[1], 

dp2[1][j-1] - price[2],

...

dp2[i-1][j-1] - price[i],

}

那么 dp2[i][j] = dp1[i][j] + price[i]   ---------------- a

max(dp1[i][j], dp2[i][j-1]-price[i+1])  ==> dp1[i+1][j]

所以 dp1[i][j] = max(dp1[i-1][j], dp2[i-1][j-1]-price[i]) --------------------b

a, b 是题目的状态转移方程, 剩下的也是最难的就是初始化了

4. 首先看 dp1 的, dp1[i][j] = max(dp1[i-1][j], dp2[i-1][j-1]-price[i]). 想象一个二维矩阵, dp1[i][j] 是由其上面和左上两个格子组合, 那么 dp1[i][j] 的第一行就无法通过递推的来, 只能初始化, 手动生成. 同样的道理, dp1 第一列也无法递推而得. 不过好在 dp2[0][i] 都等于 0, dp2[i][0] 相当于 [0~i] 的最大利润, 可以递推求出.

那么, 我们看第二行需要些什么.

dp1[1][1] = max(0-price[0], dp2[0][0]-price[1]) = max(dp1[0][1], dp2[0][0]-price[1])

dp1[1][2] = max(0-price[0], dp2[0][1]-price[1]) = max(dp1[0][2], dp2[0][1]-price[1])

...

dp1[1][i] = max(0-price[0],  dp2[0][i-1] -price[1])= max(dp1[0][i-1], dp2[0][i]-price[1])

所以, dp1[0][i] = 0-price[0] 即可, dp1[i][0] 不需要初始化, 因为 dp2[i][0] 可以直接求出

代码

未能通过九度测试, 第 4 个案例无法通过

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;

int dp1[1001][1001];
int dp2[1001][1001];
int prices[1001];

void init(int n, int k) {
    for(int i = 0; i < k; i ++) {// init first line
        dp1[0][i] = -prices[0];
        dp2[0][i] = 0;
    }
    
    int global = 0, local = 0;
    for(int i = 1; i < n; i ++) {// init first column
        local = max(0, prices[i]-prices[i-1]+local);
        global = max(global, local);
        dp2[i][0] = global;
    }
}

int dodp(int n, int k) {
    for(int i = 1; i < n; i ++) {
        for(int j = 1; j < k; j ++) {
            dp1[i][j] = max(dp1[i-1][j], dp2[i-1][j-1]-prices[i]);
            dp2[i][j] = dp1[i][j] + prices[i];
        }
    }
    return dp2[n-1][k-1];
}

int main() {
    freopen("testcase.txt", "r", stdin);
    int n,k;
    while(scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) {
        for(int i = 0; i < n; i ++)
            scanf("%d", prices+i);

        init(n, k);
        int res = dodp(n, k);
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}