一、基本概念
1. 背景
1.1 以人脑中的神经网络为启发，历史上出现过很多不同版本
1.2 最著名的算法是1980年的 backpropagation
2. 多层向前神经网络(Multilayer Feed-Forward Neural Network)
2.1 Backpropagation被使用在多层向前神经网络上
2.2 多层向前神经网络由以下部分组成：
输入层(input layer), 隐藏层 (hidden layers), 输入层 (output layers)
2.3 每层由单元(units)组成
2.4 输入层(input layer)是由训练集的实例特征向量传入
2.5 经过连接结点的权重(weight)传入下一层，一层的输出是下一层的输入
2.6 隐藏层的个数可以是任意的，输入层有一层，输出层有一层
2.7 每个单元(unit)也可以被称作神经结点，根据生物学来源定义
2.8 以上成为2层的神经网络（输入层不算）
2.8 一层中加权的求和，然后根据非线性方程转化输出
2.9 作为多层向前神经网络，理论上，如果有足够多的隐藏层(hidden layers) 和足够大的训练集, 可以模
拟出任何方程
3. 设计神经网络结构
3.1 使用神经网络训练数据之前，必须确定神经网络的层数，以及每层单元的个数
3.2 特征向量在被传入输入层时通常被先标准化(normalize）到0和1之间 （为了加速学习过程）
3.3 离散型变量可以被编码成每一个输入单元对应一个特征值可能赋的值
比如：特征值A可能取三个值（a0, a1, a2), 可以使用3个输入单元来代表A。
如果A=a0, 那么代表a0的单元值就取1, 其他取0；
如果A=a1, 那么代表a1de单元值就取1，其他取0，以此类推
3.4 神经网络即可以用来做分类(classification）问题，也可以解决回归(regression)问题
3.4.1 对于分类问题，如果是2类，可以用一个输出单元表示（0和1分别代表2类）
如果多余2类，每一个类别用一个输出单元表示
所以输入层的单元数量通常等于类别的数量
3.4.2 没有明确的规则来设计最好有多少个隐藏层
3.4.2.1 根据实验测试和误差，以及准确度来实验并改进
4. 交叉验证方法(Cross-Validation)
K-fold cross validation
5. Backpropagation算法
5.1 通过迭代性的来处理训练集中的实例
5.2 对比经过神经网络后输入层预测值(predicted value)与真实值(target value)之间
5.3 反方向（从输出层=>隐藏层=>输入层）来以最小化误差(error)来更新每个连接的权重(weight)
5.4 算法详细介绍
输入：D：数据集，l 学习率(learning rate)， 一个多层前向神经网络
输入：一个训练好的神经网络(a trained neural network)
5.4.1 初始化权重(weights)和偏向(bias): 随机初始化在-1到1之间，或者-0.5到0.5之间，每个单元有
一个偏向
5.4.2 对于每一个训练实例X，执行以下步骤：
5.4.3 终止条件
5.4.3.1 权重的更新低于某个阈值
5.4.3.2 预测的错误率低于某个阈值
5.4.3.3 达到预设一定的循环次数
二、感知机的推导过程（只有一层，没有激活函数）
三、加入激活函数
四、防止局部极小值，增加冲量项
五、代码实现
import numpy as np def tanh(x): return np.tanh(x) def tanh_deriv(x): return 1.0 - np.tanh(x) * np.tanh(x) def logistic(x): return 1 / (1 + np.exp(-x)) def logistic_deriv(x): return logistic(x) * (1 - logistic(x)) class NeuralNetwork: def __init__(self, layers, activation="tanh"): if activation == "logistic": self.activation = logistic self.activation_deriv = logistic_deriv elif activation == "tanh": self.activation = tanh self.activation_deriv = tanh_deriv self.weights = [] # len(layers)layer是一个list[10,10,3]，则len(layer)=3 for i in range(1, len(layers) - 1): # 初始化 权值范围 [-0.25,0.25) # [0,1) * 2 - 1 => [-1,1) => * 0.25 => [-0.25,0.25) # 加1是增加了一个bias self.weights.append((2 * np.random.random((layers[i - 1] + 1, layers[i] + 1)) - 1) * 0.25) self.weights.append((2 * np.random.random((layers[i] + 1, layers[i + 1])) - 1) * 0.25) # print(len(self.weights)) def fit(self, x, y, learning_rate=0.2, epochs=10000): x = np.atleast_2d(x) # 确保X是一个二维的数据集，每一行代表一个实例 temp = np.ones([x.shape[0], x.shape[1] + 1]) temp[:, 0:-1] = x x = temp # 以上三行就是为了给x增加一个值全为1的维度，作为bias，w[-1] * 1=bias y = np.array(y) for k in range(epochs): # 开始迭代，采用随机梯度，每次抽取一个实例 i = np.random.randint(x.shape[0]) # x.shape[0] is the number of the trainingset samples a = [x[i]] # choose a sample randomly to train the model for l in range(len(self.weights)): # 正向进行计算更新，把第一层的输出，作为下一层的输入，此处用了一个小递归，a[l] a.append(self.activation(np.dot(a[l], self.weights[l]))) error = y[i] - a[-1] # a[-1]就是我们最终预测的输出 deltas = [error * self.activation_deriv(a[-1])] for l in range(len(a) - 2, 0, -1): # 从倒数第二层到第0层，每次回退一层 deltas.append(deltas[-1].dot(self.weights[l].T) * self.activation_deriv(a[l])) deltas.reverse() # 从后往前计算出所有的delta，然后反转 for i in range(len(self.weights)): layer = np.atleast_2d(a[i]) delta = np.atleast_2d(deltas[i]) self.weights[i] += learning_rate * layer.T.dot(delta) def predict(self, x): x = np.array(x) temp = np.ones(x.shape[0] + 1) temp[0:-1] = x a = temp for l in range(0, len(self.weights)): a = self.activation(np.dot(a, self.weights[l])) return a if __name__ == '__main__': nn = NeuralNetwork([2, 2, 1], 'tanh') x = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]]) y = np.array([0, 1, 1, 0]) nn.fit(x, y) for i in [[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]]: print(i, nn.predict(i))
结果
[0, 0] [-0.00096734] [0, 1] [0.99820279] [1, 0] [0.99812838] [1, 1] [-0.01110901]
显示一下数据集
from sklearn.datasets import load_digits
import pylab as pl
digits = load_digits()
print(digits.data.shape) # (1797, 64)
pl.gray()
pl.matshow(digits.images[0])
pl.show()
六、手写字识别
import numpy as np from sklearn.datasets import load_digits from sklearn.metrics import confusion_matrix, classification_report from sklearn.preprocessing import LabelBinarizer from ml08BP_neuralNetwork import NeuralNetwork from sklearn.model_selection import train_test_split # 加载数据集 digits = load_digits() X = digits.data y = digits.target # 处理数据，使得数据处于0,1之间，满足神经网络算法的要求 X -= X.min() X /= X.max() # 层数： # 输出层10个数字 # 输入层64因为图片是8*8的，64像素 # 隐藏层假设100 nn = NeuralNetwork([64, 100, 10], 'logistic') # 分隔训练集和测试集 X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y) # 转化成sklearn需要的二维数据类型 labels_train = LabelBinarizer().fit_transform(y_train) labels_test = LabelBinarizer().fit_transform(y_test) print("start fitting") # 训练3000次 nn.fit(X_train, labels_train, epochs=3000) predictions = [] for i in range(X_test.shape[0]): o = nn.predict(X_test[i]) # np.argmax:第几个数对应最大概率值 predictions.append(np.argmax(o)) # 打印预测相关信息 print(confusion_matrix(y_test, predictions)) print(classification_report(y_test, predictions))
结果
矩阵对角线代表预测正确的数量，发现正确率很多
这张表更直观地显示出预测正确率： 共450个案例，成功率94%
