布隆过滤器

引言

在介绍布隆过滤器之前我们首先引入几个场景。

场景一

在一个高并发的计数系统中，如果一个key没有计数，此时我们应该返回0，但是访问的key不存在，相当于每次访问缓存都不起作用了。那么如何避免频繁访问数量为0的key而导致的缓存被击穿？

有人说， 将这个key的值置为0存入缓存不就行了吗？确实，这是一个好的方案。大部分情况我们都是这样做的，当访问一个不存在的key的时候，设置一个带有过期时间的标志，然后放入缓存。不过这样做的缺点也很明显，浪费内存和无法抵御随机key攻击。

场景二

在一个黑名单系统中，我们需要设置很多黑名单内容。比如一个邮件系统，我们需要设置黑名单用户，当判断垃圾邮件的时候，要怎么去做。比如爬虫系统，我们要记录下来已经访问过的链接避免下次访问重复的链接。

在邮件很少或者用户很少的情况下，我们用普通数据库自带的查询就能完成。在数据量太多的时候，为了保证速度，通常情况下我们会将结果缓存到内存中，数据结构用hash表。这种查找的速度是O(1)，但是内存消耗也是惊人的。打个比方，假如我们要存10亿条数据，每条数据平均占据32个字节，那么需要的内存是64G，这已经是一个惊人的大小了。

一种解决思路

能不能有一种思路，查询的速度是O(1)，消耗内存特别小呢？前辈门早就想出了一个很好的解决方案。由于上面说的场景判断的结果只有两种状态（是或者不是，存在或者不存在），那么对于所存的数据完全可以用位来表示！数据本身则可以通过一个hash函数计算出一个key，这个key是一个位置，而这个key所对的值就是0或者1（因为只有两种状态），如下图：

布隆过滤器原理

上面的思路其实就是布隆过滤器的思想，只不过因为hash函数的限制，多个字符串很可能会hash成一个值。为了解决这个问题，布隆过滤器引入多个hash函数来降低误判率。

下图表示有三个hash函数，比如一个集合中有x，y，z三个元素，分别用三个hash函数映射到二进制序列的某些位上，假设我们判断w是否在集合中，同样用三个hash函数来映射，结果发现取得的结果不全为1，则表示w不在集合里面。

布隆过滤器处理流程

布隆过滤器应用很广泛，比如垃圾邮件过滤，爬虫的url过滤，防止缓存击穿等等。下面就来说说布隆过滤器的一个完整流程，相信读者看到这里应该能明白布隆过滤器是怎样工作的。

第一步：开辟空间

开辟一个长度为m的位数组（或者称二进制向量），这个不同的语言有不同的实现方式，甚至你可以用文件来实现。

第二步：寻找hash函数

获取几个hash函数，前辈们已经发明了很多运行良好的hash函数，比如BKDRHash，JSHash，RSHash等等。这些hash函数我们直接获取就可以了。

第三步：写入数据

将所需要判断的内容经过这些hash函数计算，得到几个值，比如用3个hash函数，得到值分别是1000，2000，3000。之后设置m位数组的第1000，2000，3000位的值位二进制1。

第四步：判断

接下来就可以判断一个新的内容是不是在我们的集合中。判断的流程和写入的流程是一致的。

误判问题

布隆过滤器虽然很高效（写入和判断都是O(1)，所需要的存储空间极小），但是缺点也非常明显，那就是会误判。当集合中的元素越来越多，二进制序列中的1的个数越来越多的时候，判断一个字符串是否在集合中就很容易误判，原本不在集合里面的字符串会被判断在集合里面。

数学推导

布隆过滤器原理十分简单，但是hash函数个数怎么去判断，误判率有多少？

假设二进制序列有m位，那么经过当一个字符串hash到某一位的概率为：

1m

也就是说当前位被反转为1的概率：

p(1)=1m

那么这一位没有被反转的概率为：

p(0)=1−1m

假设我们存入n各元素，使用k个hash函数，此时没有被翻转的概率为：

p(0)=(1−1m)nk

那什么情况下我们会误判呢，就是原本不应该被翻转的位，结果翻转了，也就是

p(误判)=1−(1−1m)nk

由于只有k个hash函数同时误判了，整体才会被误判，最后误判的概率为

p(误判)=(1−(1−1m)nk)k

要使得误判率最低，那么我们需要求误判与m、n、k之间的关系，现在假设m和n固定，我们计算一下k。可以首先看看这个式子：

(1−1m)nk

由于我们的m很大，通常情况下我们会用2^32来作为m的值。上面的式子中含有一个重要极限

limx→∞(1+1x)x=e

因此误判率的式子可以写成

 p(误判)=(1−(e)−nk/m)k

接下来令t=−n/m，两边同时取对数，求导，得到：

p′1p=ln(1−etk)+klnet(−etk)1−etk

让p′=0，则等式后面的为0，最后整理出来的结果是

(1−etk)ln(1−etk)=etklnetk

计算出来的k为ln2mn，约等于0.693mn，将k代入p(误判)，我们可以得到概率和m、n之间的关系，最后的结果

(1/2)ln2mn，约等于0.6185m/n

以上我们就得出了最佳hash函数个数以及误判率与mn之前的关系了。

下表是m与n比值在k个hash函数下面的误判率

m/n	k	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	k=7	k=8
2	1.39	0.393	0.400
3	2.08	0.283	0.237	0.253
4	2.77	0.221	0.155	0.147	0.160
5	3.46	0.181	0.109	0.092	0.092	0.101
6	4.16	0.154	0.0804	0.0609	0.0561	0.0578	0.0638
7	4.85	0.133	0.0618	0.0423	0.0359	0.0347	0.0364
8	5.55	0.118	0.0489	0.0306	0.024	0.0217	0.0216	0.0229
9	6.24	0.105	0.0397	0.0228	0.0166	0.0141	0.0133	0.0135	0.0145
10	6.93	0.0952	0.0329	0.0174	0.0118	0.00943	0.00844	0.00819	0.00846
11	7.62	0.0869	0.0276	0.0136	0.00864	0.0065	0.00552	0.00513	0.00509
12	8.32	0.08	0.0236	0.0108	0.00646	0.00459	0.00371	0.00329	0.00314
13	9.01	0.074	0.0203	0.00875	0.00492	0.00332	0.00255	0.00217	0.00199
14	9.7	0.0689	0.0177	0.00718	0.00381	0.00244	0.00179	0.00146	0.00129
15	10.4	0.0645	0.0156	0.00596	0.003	0.00183	0.00128	0.001	0.000852
16	11.1	0.0606	0.0138	0.005	0.00239	0.00139	0.000935	0.000702	0.000574
17	11.8	0.0571	0.0123	0.00423	0.00193	0.00107	0.000692	0.000499	0.000394
18	12.5	0.054	0.0111	0.00362	0.00158	0.000839	0.000519	0.00036	0.000275
19	13.2	0.0513	0.00998	0.00312	0.0013	0.000663	0.000394	0.000264	0.000194
20	13.9	0.0488	0.00906	0.0027	0.00108	0.00053	0.000303	0.000196	0.00014
21	14.6	0.0465	0.00825	0.00236	0.000905	0.000427	0.000236	0.000147	0.000101
22	15.2	0.0444	0.00755	0.00207	0.000764	0.000347	0.000185	0.000112	7.46e-05
23	15.9	0.0425	0.00694	0.00183	0.000649	0.000285	0.000147	8.56e-05	5.55e-05
24	16.6	0.0408	0.00639	0.00162	0.000555	0.000235	0.000117	6.63e-05	4.17e-05
25	17.3	0.0392	0.00591	0.00145	0.000478	0.000196	9.44e-05	5.18e-05	3.16e-05
26	18	0.0377	0.00548	0.00129	0.000413	0.000164	7.66e-05	4.08e-05	2.42e-05
27	18.7	0.0364	0.0051	0.00116	0.000359	0.000138	6.26e-05	3.24e-05	1.87e-05
28	19.4	0.0351	0.00475	0.00105	0.000314	0.000117	5.15e-05	2.59e-05	1.46e-05
29	20.1	0.0339	0.00444	0.000949	0.000276	9.96e-05	4.26e-05	2.09e-05	1.14e-05
30	20.8	0.0328	0.00416	0.000862	0.000243	8.53e-05	3.55e-05	1.69e-05	9.01e-06
31	21.5	0.0317	0.0039	0.000785	0.000215	7.33e-05	2.97e-05	1.38e-05	7.16e-06
32	22.2	0.0308	0.00367	0.000717	0.000191	6.33e-05	2.5e-05	1.13e-05	5.73e-06

　　简单实现:

/**
 * Implements a Bloom Filter
 */
class BloomFilter {
    /**
     * Size of the bit array
     *
     * @var int
     */
    protected $m;
 
    /**
     * Number of hash functions
     *
     * @var int
     */
    protected $k;
 
    /**
     * Number of elements in the filter
     *
     * @var int
     */
    protected $n;
 
    /**
     * The bitset holding the filter information
     *
     * @var array
     */
    protected $bitset;
 
    /**
     * 计算最优的hash函数个数：当hash函数个数k=(ln2)*(m/n)时错误率最小
     *
     * @param int $m bit数组的宽度（bit数）
     * @param int $n 加入布隆过滤器的key的数量
     * @return int
     */
    public static function getHashCount($m, $n) {
        return ceil(($m / $n) * log(2));
    }
 
    /**
     * Construct an instance of the Bloom filter
     *
     * @param int $m bit数组的宽度（bit数） Size of the bit array
     * @param int $k hash函数的个数 Number of different hash functions to use
     */
    public function __construct($m, $k) {

        $this->m = $m;
        $this->k = $k;
        $this->n = 0;
 
        /* Initialize the bit set */
        $this->bitset = array_fill(0, $this->m - 1, false);
    }
 
    /**
     * False Positive的比率：f = (1 – e-kn/m)k   
     * Returns the probability for a false positive to occur, given the current number of items in the filter
     *
     * @return double
     */
    public function getFalsePositiveProbability() {
        $exp = (-1 * $this->k * $this->n) / $this->m;
 
        return pow(1 - exp($exp),  $this->k);
    }
 
    /**
     * Adds a new item to the filter
     *
     * @param mixed Either a string holding a single item or an array of 
     *              string holding multiple items.  In the latter case, all
     *              items are added one by one internally.
     */
    public function add($key) {
        if (is_array($key)) {
            foreach ($key as $k) {
                $this->add($k);
            }
            return;
        }
 
        $this->n++;
 
        foreach ($this->getSlots($key) as $slot) {
            $this->bitset[$slot] = true;
        }
    }
 
    /**
     * Queries the Bloom filter for an element
     *
     * If this method return FALSE, it is 100% certain that the element has
     * not been added to the filter before.  In contrast, if TRUE is returned,
     * the element *may* have been added to the filter previously.  However with
     * a probability indicated by getFalsePositiveProbability() the element has
     * not been added to the filter with contains() still returning TRUE.
     *
     * @param mixed Either a string holding a single item or an array of 
     *              strings holding multiple items.  In the latter case the
     *              method returns TRUE if the filter contains all items.
     * @return boolean
     */
    public function contains($key) {
        if (is_array($key)) {
            foreach ($key as $k) {
                if ($this->contains($k) == false) {
                    return false;
                }
            }
 
            return true;
        }
 
        foreach ($this->getSlots($key) as $slot) {
            if ($this->bitset[$slot] == false) {
                return false;
            }
        }
 
        return true;
    }
 
    /**
     * Hashes the argument to a number of positions in the bit set and returns the positions
     *
     * @param string Item
     * @return array Positions
     */
    protected function getSlots($key) {
        $slots = array();
        $hash = self::getHashCode($key);
        mt_srand($hash);
 
        for ($i = 0; $i < $this->k; $i++) {
            $slots[] = mt_rand(0, $this->m - 1);
        }
 
        return $slots;
    }
 
    /**
     * 使用CRC32产生一个32bit（位）的校验值。
     * 由于CRC32产生校验值时源数据块的每一bit（位）都会被计算，所以数据块中即使只有一位发生了变化，也会得到不同的CRC32值。
     * Generates a numeric hash for the given string
     *
     * Right now the CRC-32 algorithm is used.  Alternatively one could e.g.
     * use Adler digests or mimick the behaviour of Java's hashCode() method.
     *
     * @param string Input for which the hash should be created
     * @return int Numeric hash
     */
    protected static function getHashCode($string) {
        return crc32($string);
    }
    
}
 
 
 
$items = array("first item", "second item", "third item");
        
/* Add all items with one call to add() and make sure contains() finds
 * them all.
 */
$filter = new BloomFilter(100, BloomFilter::getHashCount(100, 3));
// var_dump($filter); exit;
$filter->add($items);
 
// var_dump($filter); exit;
$items = array("firsttem", "seconditem", "thirditem");
foreach ($items as $item) {
 var_dump(($filter->contains($item)));
}




 
/* Add all items with multiple calls to add() and make sure contains()
* finds them all.
*/
$filter = new BloomFilter(100, BloomFilter::getHashCount(100, 3));
foreach ($items as $item) {
    $filter->add($item);
}
$items = array("fir sttem", "secondit em", "thir ditem");

foreach ($items as $item) {
 var_dump(($filter->contains($item)));
}