自适应滤波：矩阵求逆

作者：桂。

时间：2017-04-02  10:36:09

链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6658655.html 

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 【读书笔记09】

前言

　　西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版第八章：最小二乘法。因为最小二乘涉及到矩阵求逆，因为通常对于秩缺矩阵其逆是不可求的，这就需要借助广义逆矩阵。而广义逆矩阵可以借助奇异值分解（SVD，Singularly Valuable Decomposition）进行求解。

　　有了这个思路，在学习各类最小二乘方法之前，对广义矩阵求逆、SVD分解进行梳理是有必要的，本文主要梳理矩阵求逆。

 

一、满秩情况

　　A-方阵

对于$n$x$n$的非奇异矩阵$f{A}$，对应的逆矩阵为：${{f{A}}^{ - 1}}$.

　　B-长方形阵

此时对应逆矩阵分为：左逆矩阵以及右逆矩阵。

对于矩阵A（n×m）:

• 如果A是满列秩（n>=m）对于符合LA=I的矩阵解为：${f{L}} = {left( {{{f{A}}^H}{f{A}}} ight)^{ - 1}}{{f{A}}^H}$;
• 如果A是满行秩（n<=m）对于符合AR=I的矩阵解为：${f{R}} = {{f{A}}^H}{left( {{{f{A}}}{f{A}^H}} ight)^{ - 1}}$.

可以看出，当$m=n$时，${f{R}}={f{L}}={{f{A}}^{ - 1}}$.

二、秩亏缺情况

 满秩情况中，通过矩阵左/右乘，可以实现满秩方阵，进而求逆得解，对于秩亏缺的情况，上面的求逆思路不再适用，这就需要一种更广义的定义逆矩阵的方式，也就是需要同时左、右乘以矩阵变换，才能得到满秩的特性，广义逆矩阵对满秩情况仍然有效。给出Moore-Penrose逆矩阵定义：

令$f{A}$是任意$m$x$n$矩阵，如果${{f{A}}^+ }$满足以下四个条件，称矩阵${{f{A}}^+ }$是$f{A}$的广义逆矩阵：

　　1）${f{A}}{{f{A}}^+ }{f{A}} = {f{A}}$;

　　2）${{f{A}}^+ }{f{A}}{{f{A}}^+ } = {{f{A}}^+ }$;

　　3）${f{A}}{{f{A}}^+ } = {left( {{f{A}}{{f{A}}^+ }} ight)^H}$;

　　4）${{f{A}}^+ }{f{A}} = {left( {{{f{A}}^+ }{f{A}}} ight)^H}$;

具体的原理推导可以参考：张贤达《矩阵分析与应用》p61~64.

容易看出：$f{A}$的满秩情况，广义逆矩阵仍然使用。Moore-Penrose逆矩阵是广义逆矩阵的一种形式。

三、求解Moore-Penrose逆矩阵

求解有多种思路，这里只分析基于SVD分解的方法。首先给出求解步骤：

背景知识：

对于存在正交矩阵$f{U}$、$f{V}$，使得：

${f{A}}{ m{ = }}{f{USigma }}{{f{V}}^H}$

式中：

且$r = rank({f{A}})$.

求解步骤：

利用SVD进行广义逆矩阵求解：

${{f{A}}^ + } = {f{V}}{{f{Sigma }}^ + }{{f{U}}^H}$

其中：

事实上，对于秩为$r$，$f{A}$分解可简写为：

${f{A}} = {{f{U}}_r}{{f{Sigma }}_1}{{f{V}}_r}^H$

从而SVD可以简化为：

${{f{A}}^ + } = {{f{V}}_r}{f{Lambda }}_{_{ m{1}}}^{ - 1}{f{V}}_{_r}^H{{f{A}}^H}$

其中${{f{Lambda }}_1} = diagleft( {sigma _{_1}^2,sigma _{_2}^2,...,sigma _{_r}^2} ight)$.

因为暂时不讨论SVD，此处先直接调用，给出对应代码：

a = [ 1     7     5
     1     6     4
     2     7     8
    10     5     4];
[U,S,V] = svd(a);
K = min(size(a));
S_plus = [diag(1./diag(S))].^2;
a_mp = 0;
for i = 1:K
    a_mp = a_mp+V(:,i)*S_plus(i,i)*V(:,i)'*a';
end

求解的a_mp为广义逆矩阵，其结果与`pinv`指令的作用等价。

理论证明：

表达式简写：

首先分析Moore-Penrose条件1：

Moore-Penrose条件2与条件1证明类似；

再分析Moore-Penrose条件3：

即${f{A}}{{f{A}}^+ } = {left( {{f{A}}{{f{A}}^+ }} ight)^H}$;条件4同理。

既然广义矩阵求逆可以借助SVD分解，需要看看SVD如何分解，对SVD进行梳理点击这里。

有了广义逆矩阵，如何求解最小二乘可以点击这里。

参考：

•  张贤达：《矩阵分析与应用》.