「题解」：数三角形

考拉学长杂题选讲最（水？）的一道题。

题面

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题目描述

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。注意三角形的三点不能共线。

样例输入

2 2

样例输出

76

题解

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直接求不现实。所以一点点容斥？

我们先求出来在全部的$t$个点$((n+1)*(m+1))$中任意选三个点的全部组合

$frac{(t-2)*(t-1)*t}{3!}$ （解释：从t个数里选出第一个，剩下t-1个数中选第二个，t-2个数里选第三个，除以三个数的内部排列数）

然后我们尝试减去不合法的选择：

<1>.单行、单列上不合法的数量：与之前一样，只不过要在单行或者单列上选择。在单行上$frac{(m+1)*m*(m-1)}{3!}$，推广到每一行，乘以行数，即为：$frac{(m+1)*m*(m-1)}{3!}*(n+1)$，同理，在单列上为$frac{(n+1)*n*(n-1)}{3!}$，推广到每一列，乘以列数，即为：$frac{(n+1)*n*(n-1)}{3!}*(m+1)$。

<2>.斜着共线的三点的情况数量：设1点的坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则$gcd(x_1-x_2,y_1-y_2)-1$恰为点阵中1点和2点之间点的数量。一个非常显然的性质是：我们求出了一个斜线完全可以在点阵上平移，对称翻折。于是我们考虑优化：把其中一个点固定在左上角，然后枚举图中点的坐标，最后得出，左上角与枚举的端点相连所得的直线平移的可能总数为：$(n-x+1)*(m-y+1)$。于是得出公式：$(n-i+1)*(m-j+1)*2*(gcd(i,j)-1)$，两层for循环枚举i，j作为节点横纵坐标即可。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define rint register int
using namespace std;
long long n,m,t;
long long ans=0,row,line,inc;
inline int gcd(long long a,long long b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    scanf("%lld %lld",&m,&n);
    t=(m+1)*(n+1);
    ans=t*(t-1)*(t-2)/6;
    row=(n+1)*(m+1)*m*(m-1)/6;line=(m+1)*(n+1)*n*(n-1)/6;
    for(rint i=1;i<=n;++i)
        for(rint j=1;j<=m;++j)
            inc+=(n-i+1)*(m-j+1)*2*(gcd(i,j)-1);
    ans-=row;ans-=line;ans-=inc;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}