平衡二叉树，是一个方便查找的树，树的左子树深度与右子树的深度的差总（BF）是在+1,0,-1之中。
随着树的建立，插入，树都会自动的进行调整，使得其满足上面的条件。
1、+1表示左子树的深度比右子树的深度多1.
2、0 表示左子树的深度与右子树的深度相同。
3、-1表示左子树的深度比右子树神的小1.
因此，如果一个数据插入到情况1中，也就是说，数据插入到左子树中，左子树的深度将会比右子树多2.此时，需要调整树的结构。如果插入尾端节点的左子树中，则这个尾端节点相应的BF值,就变成+1.相反，如果插入到它的右子树中，BF值就会变成-1.这个调整也会返回到上面一层的节点，再次进行调整。
这里相应的介绍一个左旋，与右旋的基本知识。
比如下图
在进行左旋时，将会发生下面的情况：
void L_Rotate(BiTree *p){ //传入根节点进行右旋 BiTree R; R = (*p)->rchild; (*p)->rchild = R->lchild; R->lchild = (*p); (*p) = R; }
最后子树将会变成
相应的右旋，则运行下面的代码
void R_Rotate(BiTree *p){ //传入一个根节点，进行右旋。定义它的左子树节点为L,根节点的左子树变成L的右子树，L的右子树变成根节点。最后把根节点指针指向L BiTree L; L = (*p)->lchild; (*p)->lchild = L->rchild; L->rchild = (*p); (*p) = L; }
了解左旋与右旋后，就该进行树的调整介绍了。
这里有一个技巧：
1 如果插入的元素插入到左子树，使得左子树的BF值发生改变。如果左子树节点的BF值，与根节点的BF值相同符号，则进行一次右旋，即可。但是如果是不同符号，则要进行双旋（即先进性左旋，使得子树高度加一，在进行右旋，平衡子树）
2 如果插入到右子树，也观察符号，相同，则进行一次右旋，如果不同，则进行双旋。
代码如下
void LeftBalance(BiTree *T){ BiTree L,Lr; L = (*T)->lchild; switch(L->bf){ case LH://符号与根相同，因此进行右旋一次，就行了 (*T)->bf = L->bf = EH; R_Rotate(T); break; case RH://符号与根不同，要进行双旋；对子树进行一次旋转，再对T进行一次旋转 Lr = L->rchild; switch(Lr->bf){ case LH: //如果是左子数高，那么对根节点赋值为-1，因为没有右子树，根节点将会出现左子树为空的情况；左子树旋转后，会平衡为EH (*T)->bf = RH; L->bf = EH; break; case EH://如果为平衡，那么根节点和左子树节点都为平衡EH (*T)->bf = L->bf = EH; break; case RH://如果右子树高，那么对根节点赋值为0，对左子树赋值为+1，因为进行旋转后，左子树节点的右子树会空。根节点EH (*T)->bf = EH; L->bf = LH; break; } Lr->bf = EH; L_Rotate(&(*T)->lchild); R_Rotate(T); } } void RightBalance(BiTree *T){ BiTree R,Rl; R = (*T)->rchild; switch(R->bf){ case RH: (*T)->bf = R->bf = EH; L_Rotate(T); break; case LH: Rl = R->lchild; switch(Rl->bf){ case LH: //如果是左子数高，那么对根节点赋值为-1，因为没有右子树，根节点将会出现左子树为空的情况；左子树旋转后，会平衡为EH (*T)->bf = EH; R->bf = RH; break; case EH://如果为平衡，那么根节点和左子树节点都为平衡EH (*T)->bf = R->bf = EH; break; case RH://如果右子树高，那么对根节点赋值为0，对左子树赋值为+1，因为进行旋转后，左子树节点的右子树会空。根节点EH (*T)->bf = LH; R->bf = EH; break; } Rl->bf = EH; R_Rotate(&(*T)->rchild); L_Rotate(T); } }
插入时，要遍历到子树的最底层，进行分析，逐层的改变BF值，进行平衡。知道标记taller为0时，表示对深度不发生改变，就不需要向上遍历了。
int insertAVL(BiTree *T,int e, int *taller){ if(!(*T)){ (*T)=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); (*T)->data = e; (*T)->lchild = NULL; (*T)->rchild = NULL; (*T)->bf = EH; *taller = 1; }else{ if(e == (*T)->data){ //存在相同节点 *taller = 0; return 0; } if(e < (*T)->data){ if(!insertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) return 0; if(taller){ switch((*T)->bf){ case LH: LeftBalance(T); *taller = 0; break; case EH: (*T)->bf = LH; *taller = 1; break; case RH: (*T)->bf = EH; *taller = 0; break; } } }else{ if(!insertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) return 0; if(taller){ switch((*T)->bf){ case LH: (*T)->bf = 0; *taller = 0; break; case EH: (*T)->bf=RH; *taller = 1; break; case RH: RightBalance(T); *taller = 0; break; } } } } return 1; }
全部代码：
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define LH +1 #define EH 0 #define RH -1 typedef struct BiTNode{ int data; int bf; struct BiTNode *lchild,*rchild; }BiTNode,*BiTree; void R_Rotate(BiTree *p); void L_Rotate(BiTree *p); void LeftBalance(BiTree *p); void RightBalance(BiTree *T); int insertAVL(BiTree *T,int e, int *taller); void InOrderTree(BiTree b); int main(){ int i; int a[10]={4,7,9,1,2,3,0,5,6,8}; BiTree T = NULL; int *taller = (int *)malloc(sizeof(int)); for(i=0;i<10;i++){ insertAVL(&T,a[i],taller); InOrderTree(T); printf(" "); } getchar(); } void InOrderTree(BiTree b){ if( b== NULL) return; InOrderTree(b->lchild); printf("%d ",b->data); InOrderTree(b->rchild); } int insertAVL(BiTree *T,int e, int *taller){ if(!(*T)){ (*T)=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); (*T)->data = e; (*T)->lchild = NULL; (*T)->rchild = NULL; (*T)->bf = EH; *taller = 1; }else{ if(e == (*T)->data){ //存在相同节点 *taller = 0; return 0; } if(e < (*T)->data){ if(!insertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) return 0; if(taller){ switch((*T)->bf){ case LH: LeftBalance(T); *taller = 0; break; case EH: (*T)->bf = LH; *taller = 1; break; case RH: (*T)->bf = EH; *taller = 0; break; } } }else{ if(!insertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) return 0; if(taller){ switch((*T)->bf){ case LH: (*T)->bf = 0; *taller = 0; break; case EH: (*T)->bf=RH; *taller = 1; break; case RH: RightBalance(T); *taller = 0; break; } } } } return 1; } void R_Rotate(BiTree *p){ //传入一个根节点，进行右旋。定义它的左子树节点为L,根节点的左子树变成L的右子树，L的右子树变成根节点。最后把根节点指针指向L BiTree L; L = (*p)->lchild; (*p)->lchild = L->rchild; L->rchild = (*p); (*p) = L; } void L_Rotate(BiTree *p){ //传入根节点进行右旋 BiTree R; R = (*p)->rchild; (*p)->rchild = R->lchild; R->lchild = (*p); (*p) = R; } void LeftBalance(BiTree *T){ BiTree L,Lr; L = (*T)->lchild; switch(L->bf){ case LH://符号与根相同，因此进行右旋一次，就行了 (*T)->bf = L->bf = EH; R_Rotate(T); break; case RH://符号与根不同，要进行双旋；对子树进行一次旋转，再对T进行一次旋转 Lr = L->rchild; switch(Lr->bf){ case LH: //如果是左子数高，那么对根节点赋值为-1，因为没有右子树，根节点将会出现左子树为空的情况；左子树旋转后，会平衡为EH (*T)->bf = RH; L->bf = EH; break; case EH://如果为平衡，那么根节点和左子树节点都为平衡EH (*T)->bf = L->bf = EH; break; case RH://如果右子树高，那么对根节点赋值为0，对左子树赋值为+1，因为进行旋转后，左子树节点的右子树会空。根节点EH (*T)->bf = EH; L->bf = LH; break; } Lr->bf = EH; L_Rotate(&(*T)->lchild); R_Rotate(T); } } void RightBalance(BiTree *T){ BiTree R,Rl; R = (*T)->rchild; switch(R->bf){ case RH: (*T)->bf = R->bf = EH; L_Rotate(T); break; case LH: Rl = R->lchild; switch(Rl->bf){ case LH: //如果是左子数高，那么对根节点赋值为-1，因为没有右子树，根节点将会出现左子树为空的情况；左子树旋转后，会平衡为EH (*T)->bf = EH; R->bf = RH; break; case EH://如果为平衡，那么根节点和左子树节点都为平衡EH (*T)->bf = R->bf = EH; break; case RH://如果右子树高，那么对根节点赋值为0，对左子树赋值为+1，因为进行旋转后，左子树节点的右子树会空。根节点EH (*T)->bf = LH; R->bf = EH; break; } Rl->bf = EH; R_Rotate(&(*T)->rchild); L_Rotate(T); } }
运行实例：
