最大团问题分支限界

问题描述：

　　给定无向图G=(V, E)，其中V是非空集合，称为顶点集；

　　E是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集，无向图中的边均是顶点的无序对，无序对常用圆括号“( )”表示。

　　如果U∈V，且对任意两个顶点u，v∈U有(u, v)∈E，则称U是G的完全子图。

　　G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。

　　如果U∈V且对任意u，v∈U有(u, v)∈E，则称U是G的空子图。G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。

　　对于任一无向图G=(V, E)，其补图G'=(V', E')定义为：V'=V，且(u, v)∈E'当且仅当(u, v)∈E。

　　如果U是G的完全子图，则它也是G'的空子图，反之亦然。因此，G的团与G'的独立集之间存在一一对应的关系。特殊地，U是G的最大团当且仅当U是G'的最大独立集。

问题定义：

　　解空间树中结点类型：bbnode

　　活结点优先队列中元素类型为 CliqueNode（cn 表示与该节点相应的团的定点数，un表示结点为根的子树中的最大顶点树的上界。level表示结点在子集空间树中所处的层次；ch 左右儿子的结点标记）

　　ch=1  左儿子  ch=0  右儿子

　　ptr 指向解空间树中相应结点的指针

　　cn+n-level+1表示定点数上界的un值。

代码描述：

相关结构体定义:

class bbnode{
    friend class Clique;
private:
    bbnode * parent;
    bool LChild;
};
class CliqueNode{
    friend class Clique;
public:
    operator int () const {return un;}
private:
    int cn,
        un,
        level;
    bbnode *ptr;
};
class Clique{
    friend void main(void);
public:
    int BBMaxClique(int []);
private:
    void AddLiveNode(MaxHeap<CliqueNode> &H,int cn,int un,int level,bbnode E[],bool ch);
    int * * a ,n;
};

AddLiveNode：将当前构造的活结点 加入到子集空间树中并插入活结点优先队列中。

void Clique::AddLiveNode(MaxHeap<CliqueNode> &H,int cn,int un,int level,bbnode E[],bool ch)
{
    bbnode * b = new bbnode;
    b->parent = E;
    b->LChild = ch;
    CliqueNode N;
    N.cn = cn;
    N.level = level;
    N.un = un;
    N.Insert(N);
}

算法核心代码：BBMaxClique

子集树的根节点是 初始扩展结点 cn为0      

i 表示当前扩展结点的解空间树中所处的层次。

首先考察左儿子：

　　顶点加入当前团，检查该顶点与当前团中其他顶点是否有边相连。

　　都有边，可行，纳入 活结点 优先队列中,AddLiveNode(),接着考察当前扩展结点的 右儿子结点，仅当un>bestn时，右子树中可能含有最优解  ；

　　否则，不可行。

int Clique::BBMaxClique(int bestx[])
{
    MaxHeap<CliqueNode> H(1000);
    bbnode * E = 0;
    int i=1,
        cn = 0,
        bestn = 0;
    while(i != n+1)
    {
        bool OK = true;
        bbnode * B = E;
        for(int j = i-1;j>0;B=B->parent,j--)
        {
            if(B->LChild && a[i][j]==0)
            {
                OK = false;
                break;
            }
        }
        if(OK)
        {
            if(cn + 1 > bestn)
                bestn = cn + 1;
            AddLiveNode(H,cn+1,cn+n-i+1,i+1,E,true);
        }
        if(cn+n-i >= bestn)
            AddLiveNode(H,cn+1,cn+n-i+1,i+1,E,true);
        CliqueNode N;
        H.DeleteMax(N);
        E = N.ptr;
        cn = N.cn;
        i = N.level;
    }
    for(int j=n;j>0;j--)
    {
        bestx[j] = E->LChild;
        E = E->parent;
    }
    return bestn;
}