符号三角形问题回溯法

问题描述：

　　由14个“+”号和14个“-”号组成的符号三角形。

　　2个同号下面是“+”号，2个异号下面是“-”号。

如图：

　　+　　 +　　 _　　 +　　 _　　 +　　 +

　　    +　　_　 　_　 　_ 　　_ 　　+

　　　　   _ 　　+　　+　　+　　_

　　　　　　  _ 　　+ 　　+ 　_

　　　　　　　　 _ 　　+ 　_

　　　　　　　　　　_ 　_

　　　　　　　　　　   +

在一般情况下，符号三角形第一行有N个符号，该问题要求对于给定n计算有多少种不同的符号三角形。使其所含的+  — 个数相同。

算法设计：

　　1 x[i] =1 时，符号三角形的第一行的第i个符号为+

　　2 x[i] =0时，表示符号三角形的第一行的第i个符号位-

　　　　　　共有i(i+1)/2个符号组成的符号三角形。

　　3 确定x[i+1]的值后，只要在前面确定的符号三角形的右边加一条边就扩展为x[1:i+1]所相应的符号三角形。

　　4 最后三角形中包含的“+”“-”的个数都为i(i+1)/4，因此搜索时，个数不能超过...若超直接可以剪去分枝。

　　5 当给定的n(n+1)/2为奇数时，也不符合三角形要求。

算法描述：

class Triangle
{
    friend int Compute(int);
private:
    void Backtrack(int t);
    int half,
        count,
        **p
    long sum;
};
void Backtrack(int t)
{
    if((count > half) || (t*(t+1)/2-count>half))
        return;
    if(t>n)
        sum++;
    else
    {
        for(int i=0;i<2;j++)
        {
            p[1][t] = i;
            count+=i;
            for(int j=2;j<=t;j++)
            {
                p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];
                count+=p[j][t-j+1];
            }
            Backtrack(t+1);
            for(int j=2;j<=t;j++)
                count -= p[j][t-j+1];
            count -= i;
        }
    }
}
int Compute(int n)
{
    Triangle X;
    X.n = n;
    X.count = 0;
    X.sum = 0;
    X.half = n*(n+1)/2;
    if(X.half%2 == 1)
        return 0;
    X.half = X.half/2;
    int * * p = new int * [n+1];
    for(int i=0;i<=n;i++)
        p[i] = new int [n+1];
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=n;j++)
            p[i][j] = 0;
    X.p = p;
    X.Backtrack(1);
    return X.sum;
}

算法实例：

#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#define MAX 100

//global variables
int count=0;//the number of '-'
int sum=0;//the number of the result
int p[MAX][MAX]={0};       //1 is '-'  0 is '+'
int n=0;
int half=0;//half=n*(n+1)/4

void back_triangle(int t);

int main()
{
    printf("Please input n:");    
    scanf("%d",&n);
    half=n*(n+1)/2;
    if(half%2!=0)
    {
        printf("The number that you input is not meaningful for this problem!");    
        getch();
        return 1;
    }
    half/=2;
    back_triangle(1);    
    printf("The result is %d",sum);
    getch();
    return 0;
}

void back_triangle(int t)
{
    if(count>half || t*(t-1)/2-count>half)//because of this,the "count==half" is not necessary
        return ;    
    if(t>n)   //the count==half is not necessary
    {
        sum++;
        for(int temp=1;temp<=n;temp++)
        {
            for(int tp=1;tp<=n;tp++)
            {
                printf("%d ",p[temp][tp]);    
            }    
            printf("\n");
        }
        printf("\n");
    }
    else
    {
        int i;
        for(i=0;i<2;i++)
        {
            p[1][t]=i;
            count+=i;
            int j;
            for(j=2;j<=t;j++)
            {
                p[j][t-j+1]=(p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2]);    
                count+=p[j][t-j+1];
            }

            back_triangle(t+1);

            for(j=2;j<=t;j++)
                count-=p[j][t-j+1];
            count-=i;
        }
    }
}

运行结果：