动态规划详解

      其实根本就谈不上详解，应该说只是随便谈谈，真正能详解动态规划的又有几个人，所以，这个标题略显扯淡。

      前段时间一直在做关于数据结构的题，也算是对数据结构有了一定的了解，知道了有些数据结构的基本算法。现在刚刚开始接触动态规划，其实写这篇文章的初衷是一来锻炼一下自己的总结能力，二来也是希望通过这篇文章，来指引和我一样的初学者，废话不多说了，开始吧。

一、01背包

      我最开始接触的有关动态规划的是01背包，这应该也是动态规划入门最好的了吧。 01背包是很简单的问题，当然也不乏一些变种让你绞尽脑汁也想不到，这里我们不讨论那些，我只说最简单的。

      假设有n种物品，每种都只有一个，第i种物品的体积为Vi，重量为Wi，选一些物品到一个容量为C的背包，使得背包内总物品的体积不超过C的情况下重量最大。

      因为每种东西只有放入背包和不放入两种状态，这也就是01的由来了。对于这个问题，你当然可以枚举所有的可能性，如果有n个物品的话，总共有2^n种可能性，如果数据大的话，普通计算机是不可能计算的，当然你可以借一台超级计算机，这是另外一种情况，不予讨论。

     我们可以换一种思考方法，对与第i件物品，我们比较把它放入和不放入背包中的重量比较，取最大值，这样我们就可以得到这样一个表达式 dp(V) = max(dp(V), dp(V-vi) + wi)， 具体实现我们可以采用递归的方式。这样时间复杂度好会不会好很多，很明显不会，因为会重复计算好多次，举个简单例子，如果我们计算dp(6)，在这个过程中我们用到了dp(3)，而在计算dp(5)的过程中也用到了dp(3)，这样这两个过程就会重复计算一次dp(3)，想想数据量大的话该有多少重复啊。。

     关于这个重复计算的问题，我们只要在过程中记录这些结果就完全可以避免重复计算，还是上面的例子，我们在dp(6)中计算了dp(3)，并且将dp(3)的结果保存了，在dp(5)中我们直接调用dp(3)，就行了，这种方法被称为记忆化搜索，因为dp()这个函数你在一定程度上可以把它当做dfs()。

    虽然记忆话搜索就是动态规划的思想，不过这还不是最好的方法，我们完全可以把递归改成递推的方式，这样dp[V] = max(dp[V], dp[V-vi] + wi)，这个表达式也被称为状态转移方程，这也是动态规划的核心，还有，一定要理解01背包这个方程，因为绝大多数状态转移方程是由它演变来的。

我们不难写出递推的代码

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    for (int j = C; j >= v[i]; j--)
    {
        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
    }
}

时间复杂度为O(n*n)，时间上我们没办法在优化了，但在空间上我们可以继续优化，我们可以把dp数组改成一维的，得到以下代码也是正确的，因为在求解的过会覆盖掉一部分，但覆盖之后的值却是该状态的最优解。

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    for (int j = C; j >= v[i]; j--)
    {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
    }
}

二、最长非降子序列

     这个也比较简单，也是基本的东西，不过越基本的越应该熟悉。

     我们让dp[i] 保存前i个数的最长非降子序列长度，每次计算以第i个数结尾的最长子序列的长度。状态转移方程就是dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1)。

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int a[100];
int dp[100];
int max(int a, int b)
{
    return a > b ?a : b;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < i; j++)
        {
            if (a[i] > a[j])
                dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n]);
}

三、最长公共子序列

 

   此文章将持续更新。。。。。。