背包问题：购物单

题目描述

王强今天很开心，公司发给N元的年终奖。王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。王强想买的东西很多，为了不超出预算，他把每件物品规定了一个重要度，分为 5 等：用整数 1 ~ 5 表示，第 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍）。他希望在不超过 N 元（可以等于 N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

    设第 j 件物品的价格为 v[j] ，重要度为 w[j] ，共选中了 k 件物品，编号依次为 j 1 ， j 2 ，……， j k ，则所求的总和为：

v[j 1 ]*w[j 1 ]+v[j 2 ]*w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ] 。（其中 * 为乘号）

    请你帮助王强设计一个满足要求的购物单。

输入描述:

输入的第 1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m

（其中 N （ <32000 ）表示总钱数， m （ <60 ）为希望购买物品的个数。）

从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j-1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q

（其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1 ~ 5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0 ，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）

输出描述:

 输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（ <200000 ）。

示例1

输入

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

输出

2200

思路

把（每个主件与其相应附件的集合）的（所有包含主件的子集）归到一个组中，组的个数就是主件的个数。然后每组中只选一个子集，这样就转化为了分组背包问题，代码如下所示：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N_size = 32001, m_size = 61;
int N, m, v[m_size], p[m_size], q, f[N_size]; //f[i]为最大价格为i时，所有被选物品的价格、重要度之积的和
int group[m_size][3]; //group[][0]为主件，group[][1]和group[][2]为两个附件
int main() {
    cin >> N >> m;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        cin >> v[i] >> p[i] >> q;
        if (q == 0)
            group[i][0] = 1; //如果第i件物品是主件，将group[i][0]置1
        //如果第i件物品是附件
        else if (group[q][2] == 0)//如果两个附件位都未使用，将第二个附件位置为i
            group[q][2] = i;
        else                      //如果第二个附件位已使用，将第一个附件位置为i
            group[q][1] = i;
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        if (group[i][0] == 0)     //若不是主件直接跳过
            continue;
        //转化为分组背包问题，每组有s种选择
        int s = (group[i][1] == 0 ? 1 : 2) * (group[i][2] == 0 ? 1 : 2);
        for (int j = N; j >= 0; --j) {
            for (int k = 0; k < s; ++k) {
                int vk = v[i] + v[group[i][1]] * ((k & 2) >> 1) + v[group[i][2]] * (k & 1); //每种选择物品所占体积
                if (j >= vk) {
                    int wk = v[i] * p[i] + v[group[i][1]] * p[group[i][1]] * ((k & 2) >> 1) + v[group[i][2]] * p[group[i][2]] * (k & 1); //每种选择物品价格、重要度之积的和
                    f[j] = max(f[j], f[j - vk] + wk);
                }
            }
        }
    }
    cout << f[N];
}