概述
多项式开跟是一个非常重要的知识点，许多多项式题目都要用到这一算法。
用快速数论变换，多项式求逆元和倍增法可以在$O(n log n)$的时间复杂度下求出一个$n$次多项式的开根。
前置技能
快速数论变换（NTT），多项式求逆元，二次剩余。
多项式的开根
给定一个多项式$A(x)$，其次数为$deg_A$，若存在一个多项式$B(x)$，使其满足$deg_B≤deg_A$，且$ B^2(x) equiv A(x) (mod x^n)$，则$B(x)$即为$A(x)$在模$x^n$意义下的的开根。
求多项式的开根
我们不妨假设，$n=2^k,k∈N$。
若$n=1$，则$b_0^2 equiv a_0(mod x)$。其中$a_0$，$b_0$表示多项式$A$和多项式$B$的常数项。
若需要求出$b_0$，直接用二次剩余求出即可。（不过由于大部分题目公式特别优美，常数项通常为0）
当$n>1$时：
我们假设在模$x^{frac{n}{2}}$的意义下$A(x)$的开根$B'(x)$我们已经求得。
依据定义，则有
$B^2(x)equiv A(x) (mod x^{n})$ $(1)$
因为多项式$B'(x)$满足
$B'^2(x)equiv A(x) (mod x^{frac{n}{2}})$ $(2)$
将$(1)-(2)$，得
$B^2(x)-B'^2(x)equiv 0(mod x^{frac{n}{2}})$ $(3)$
我们用平方差公式将$(3)$展开
$(B(x)+B'(x))(B(x)-B'(x))equiv 0(mod x^{frac{n}{2}})$ $(4)$
然后我们会发现多项式$B(x)$有两个解，下面考虑其中一种情况
$B(x)-B'(x)equiv 0(mod x^{frac{n}{2}})$ $(5)$
我们将$(5)$式同余符号两边平方，得
$B^2(x)-2B(x)B'(x)+B'^2(x)equiv 0(mod x^n)$ $(6)$
考虑到式$(1)$，我们将式$(1)$代入式$(6)$，得
$A(x)-2B(x)B'(x)+B'^2(x)equiv 0(mod x^n)$ $(7)$
最后对式 $(7)$进行移项，得到
$B(x)equiv dfrac{A(x)+B'^2(x)}{2B'(x)} (mod x^n)$ $(8)$
显然，我们可以用上述式子，通过倍增，求出n次项的$B(x)$。
这一步的计算我们可以使用多项式求逆元和$NTT$，时间复杂度为$O(n log n)$。
我们可以通过递归的方法，求解出最终的$N$次项的$B(x)$
时间复杂度$T(n)=T(dfrac{n}{2})+O(n log n)=O(n log n)$。
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