【bzoj1855】 [Scoi2010]股票交易 单调队列优化DP

上一篇blog已经讲了单调队列与单调栈的用法，本篇将讲述如何借助单调队列优化dp。

我先丢一道题：bzoj1855

此题不难想出O(n^4)做法，我们用f[i][j]表示第i天手中持有j只股票时，所赚钱的最大值。

不难推出以下式子：

$f[i][j]=maxleft{
egin{aligned}
f[k][l]+(l-j) imes bp[i] , l in [j,j+bs[i]]\
f[k][l]-(j-l) imes ap[i] , l in [j-as[i],j]\
end{aligned}
ight }
k in [1,i-w]$

考虑到第i天持有的j只股票不一定全是第i天购买的，则对于$forall j$，有$f[i][j]≥f[i-1][j]$，式子可化为O(n^3),变为：

$f[i][j]=maxleft{
egin{aligned}
f[i-w-1][l]+(l-j) imes bp[i] , l in [j,j+bs[i]]\
f[i-w-1][l]-(j-l) imes ap[i] , l in [j-as[i],j]\
end{aligned}
ight }$

考虑到$i,j≤1000$,如采用此做法依然会TLE，我们考虑采用单调队列进行优化，以下以卖出股票举例：

我们设$k<l<j$，我们认为$f[i-w-1][k]$比$f[i-w-1][l]$优，则必然满足$f[i-w-1][k]>f[i-1-1][l]+(k-l) imes bp[i]$。

我们对于每一个$i$，维护一个$f[i-w-1]$的单调队列，采用上述的判定机制删除非最优元素，同时考虑到$k,l$应位于区间$[j,j+bs[i]]$中，则需从队头删除下标不位于该区间的元素，最优用队头元素更新f[i][j]即可。

买入同理。

#include<bits/stdc++.h>
#define M 4010
using namespace std;
int f[M][M/2]={0},ap[M]={0},bp[M]={0},as[M]={0},bs[M]={0};
int t,n,w,head,tail,q[M]={0},id[M]={0};
int main(){
    scanf("%d%d%d",&t,&n,&w);
    for(int i=w+1;i<=t+w;i++) scanf("%d%d%d%d",ap+i,bp+i,as+i,bs+i);
    for(int i=0;i<=w;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++) f[i][j]=-1234567890;
    for(int i=w+1;i<=t+w;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++) f[i][j]=f[i-1][j];
        head=tail=0;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(head<tail&&id[head+1]<j-as[i]) head++;
            while(head<tail&&q[tail]-f[i-w-1][j-1]<((j-1)-id[tail])*ap[i]) tail--;
            q[++tail]=f[i-w-1][j-1]; id[tail]=j-1;
            if(head<tail) f[i][j]=max(f[i][j],q[head+1]-(j-id[head+1])*ap[i]);
        }
        head=tail=0;
        for(int j=n-1;j>=0;j--){
            if(head<tail&&j+bs[i]<id[head+1]) head++;
            while(head<tail&&f[i-w-1][j+1]-q[tail]>(id[tail]-(j+1))*bp[i]) tail--;
            q[++tail]=f[i-w-1][j+1]; id[tail]=j+1;
            if(head<tail) f[i][j]=max(f[i][j],q[head+1]+(id[head+1]-j)*bp[i]);
        }
    }
    printf("%d
",f[t+w][0]);
}